2つの直線 $l$ と $m$ の交点の座標を求める問題です。画像には3つの問題がありますが、それぞれ $l$ と $m$ のグラフが描かれており、そのグラフから直線の式を求め、連立方程式を解くことで交点の座標を求めます。ここでは、図1と図2について解答します。

1. 問題の内容

2つの直線 $l$ と $m$ の交点の座標を求める問題です。画像には3つの問題がありますが、それぞれ $l$ と $m$ のグラフが描かれており、そのグラフから直線の式を求め、連立方程式を解くことで交点の座標を求めます。ここでは、図1と図2について解答します。

2. 解き方の手順

(1) 図1の場合

* 直線 $l$ は、点 $(-6,1)$ と点 $(3,-1)$ を通ります。直線の傾き $a$ は、

$a = \frac{-1 - 1}{3 - (-6)} = \frac{-2}{9} = -\frac{2}{9}$

と計算できます。よって、$l$ の式は、$y = -\frac{2}{9}x + b$ と表せます。点 $(3,-1)$ を代入すると、

$-1 = -\frac{2}{9} \cdot 3 + b$

$-1 = -\frac{2}{3} + b$

$b = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

よって、直線 $l$ の式は $y = -\frac{2}{9}x - \frac{1}{3}$ です。

* 直線 $m$ は、y切片が5なので、 $y = ax + 5$と表せる。また、点 $(3,-1)$ を通るので

$-1 = 3a + 5$

$-6 = 3a$

$a = -2$

よって、直線 $m$ の式は、$y = -2x + 5$ です。

2直線の交点を求めるために、連立方程式を解きます。

$y = -\frac{2}{9}x - \frac{1}{3}$

$y = -2x + 5$

より、

$-\frac{2}{9}x - \frac{1}{3} = -2x + 5$

$18x - 2x = 15 + 3$

$16x = 54$

$x = \frac{54}{16} = \frac{27}{8}$

$y = -2(\frac{27}{8}) + 5 = -\frac{27}{4} + \frac{20}{4} = -\frac{7}{4}$

(2) 図2の場合

* 直線 $l$ は、$(-2, 0)$と$(0, -2)$を通るので、傾きは$\frac{-2 - 0}{0 - (-2)} = \frac{-2}{2} = -1$。よって式は、$y = -x - 2$

* 直線 $m$ は、$(4, 0)$と$(0, -6)$を通るので、傾きは$\frac{-6 - 0}{0 - 4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$。よって式は、$y = \frac{3}{2}x - 6$

2直線の交点を求めるために、連立方程式を解きます。

$y = -x - 2$

$y = \frac{3}{2}x - 6$

より、

$-x - 2 = \frac{3}{2}x - 6$

$4 = \frac{5}{2}x$

$x = \frac{8}{5}$

$y = -\frac{8}{5} - 2 = -\frac{8}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{18}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 図1の場合

交点の座標は $(\frac{27}{8}, -\frac{7}{4})$

(2) 図2の場合

交点の座標は $(\frac{8}{5}, -\frac{18}{5})$