底面の半径が12cmの円柱の容器に、深さ20cmまで水が入っています。この中に半径6cmの鉄球を沈めたとき、水面の高さが何cmになるかを求める問題です。

1. 問題の内容

底面の半径が12cmの円柱の容器に、深さ20cmまで水が入っています。この中に半径6cmの鉄球を沈めたとき、水面の高さが何cmになるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、鉄球を沈める前の水の体積を計算します。

円柱の体積の公式は、$V = \pi r^2 h$ であり、$r$ は底面の半径、$h$ は高さです。

この問題では、$r = 12$cm、$h = 20$cm なので、水の体積は、

$V_{水} = \pi \times 12^2 \times 20 = 2880\pi$ (cm$^3$)

次に、鉄球の体積を計算します。

球の体積の公式は、$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ であり、$r$ は球の半径です。

この問題では、$r = 6$cm なので、鉄球の体積は、

$V_{鉄球} = \frac{4}{3} \pi \times 6^3 = \frac{4}{3} \pi \times 216 = 288\pi$ (cm$^3$)

鉄球を沈めた後の水の体積と鉄球の体積の合計は、新しい水面の高さ $h'$ と底面の半径を用いて、$V_{合計} = \pi r^2 h'$ と表すことができます。

$V_{合計} = V_{水} + V_{鉄球} = 2880\pi + 288\pi = 3168\pi$ (cm$^3$)

したがって、

$\pi \times 12^2 \times h' = 3168\pi$

$144\pi h' = 3168\pi$

$h' = \frac{3168\pi}{144\pi} = \frac{3168}{144} = 22$

したがって、鉄球を沈めた後の水面の高さは22cmになります。

3. 最終的な答え

22 cm