中心O、直径ABが4の半円の弧の中点をMとする。Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射して、AB上の点Qにくる。 (1) $\theta = \angle PAB$ とするとき、OQの長さを$\theta$で表す。 (2) PがBに限りなく近づくとき、Qはどんな点に近づくか。

1. 問題の内容

中心O、直径ABが4の半円の弧の中点をMとする。Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射して、AB上の点Qにくる。

(1) $\theta = \angle PAB$ とするとき、OQの長さを$\theta$で表す。

(2) PがBに限りなく近づくとき、Qはどんな点に近づくか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、円の半径は、$4/2 = 2$ である。

$\angle PAB = \theta$ より、$\angle APB = 90^\circ$ (直径に対する円周角)

$\angle PBA = 90^\circ - \theta$

反射の法則より、入射角=反射角 であるから、$\angle APQ = \angle BPQ$

$\angle APQ = \alpha$ とおくと、$\angle BPQ = \alpha$

$\angle APB = \angle APQ + \angle BPQ = 2\alpha = 90^\circ$ なので、$\alpha = 45^\circ$

$\angle PAQ = \theta$

$\angle AQP = 180^\circ - (\angle PAQ + \angle APQ) = 180^\circ - (\theta + 45^\circ) = 135^\circ - \theta$

$\angle PQB = 180^\circ - \angle AQP = 180^\circ - (135^\circ - \theta) = 45^\circ + \theta$

$\angle PBQ = 90^\circ - \theta$

三角形PBQにおいて、$\angle BPQ = 45^\circ$, $\angle PBQ = 90^\circ - \theta$ より、

$\angle PQB = 180^\circ - (45^\circ + 90^\circ - \theta) = 45^\circ + \theta$

三角形APQにおいて、正弦定理より

$\frac{AQ}{\sin \angle APQ} = \frac{AP}{\sin \angle AQP}$

$\frac{AQ}{\sin 45^\circ} = \frac{AP}{\sin(135^\circ - \theta)}$

三角形APBにおいて、

$AP = AB \cos \theta = 4 \cos \theta$

$\angle AOP = 2\theta$

$\angle AOP = 2\theta$ より、三角形AOPにおいて、$OA=OP=2$なので、二等辺三角形である。したがって、$\angle OAP = \angle OPA = (180 - 2\theta)/2 = 90-\theta$.

また、$\angle PAB = \theta$ より、$\angle OAB = \theta + 90-\theta = 90$. したがって、ABはx軸上にある。

点Qは、原点Oから見て点Aの方向にあり、Qのx座標はAQ。

三角形APQにおいて、$\frac{AQ}{\sin 45^\circ} = \frac{AP}{\sin(135^\circ-\theta)}$

$AQ = \frac{AP \sin 45^\circ}{\sin(135^\circ-\theta)} = \frac{4\cos\theta (\frac{\sqrt{2}}{2})}{\sin(135^\circ)\cos\theta - \cos(135^\circ)\sin\theta} = \frac{2\sqrt{2}\cos\theta}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta} = \frac{4\cos\theta}{\cos\theta + \sin\theta}$

したがって、

$OQ = AO - AQ = 2 - \frac{4\cos\theta}{\cos\theta + \sin\theta} = \frac{2\cos\theta + 2\sin\theta - 4\cos\theta}{\cos\theta + \sin\theta} = \frac{2\sin\theta - 2\cos\theta}{\cos\theta + \sin\theta} = 2\frac{\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta} = 2 \frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta + 1}$

(2)

PがBに限りなく近づくとき、$\theta \to 90^\circ$ である。

したがって、$\tan \theta \to \infty$ より、

$OQ = 2 \frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta + 1} = 2 \frac{1- \frac{1}{\tan \theta}}{1+\frac{1}{\tan \theta}} \to 2 \frac{1-0}{1+0} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $OQ = 2\frac{\tan \theta - 1}{\tan \theta + 1}$

(2) 原点O