直線 $y=x$ と $y=2x$ のなす角を2等分する直線 $y=mx$ ($m < 0$) を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y=x$ と $y=2x$ のなす角を2等分する直線 $y=mx$ ($m < 0$) を求める問題です。

2. 解き方の手順

2直線 $y=x$ と $y=2x$ がx軸の正の方向となす角をそれぞれ $\alpha, \beta$ とします。

$tan \alpha = 1$ より $\alpha = \frac{\pi}{4}$

$tan \beta = 2$

直線 $y=mx$ が $y=x$ と $y=2x$ のなす角を2等分するので、直線 $y=mx$ がx軸の正の方向となす角は $\frac{\alpha + \beta}{2}$ です。

よって、$m = tan(\frac{\alpha + \beta}{2})$

$tan(\frac{\alpha + \beta}{2}) = \frac{sin(\alpha + \beta)}{1+cos(\alpha + \beta)}$

$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$

$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$

$sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$tan \beta = 2$ より、$sin \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $cos \beta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$

$tan(\frac{\alpha + \beta}{2}) = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{1-\frac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{3}{\sqrt{10}-1} = \frac{3(\sqrt{10}+1)}{10-1} = \frac{\sqrt{10}+1}{3}$

しかし、$m < 0$より

$tan \alpha = 1$, $tan \beta = 2$となる角は第一象限であるので、

２等分線は第一象限にあり、傾きは正となるため条件$m<0$を満たさない。

よって問題文は誤りで、$m>0$である。

したがって、$m = \frac{\sqrt{10}+1}{3}$

3. 最終的な答え

$m = \frac{\sqrt{10}+1}{3}$