点Oを中心とする円Oの円周上に2点A, Bがある。A, Bを通る円Oの接線をそれぞれ $l$, $m$ とする。直線 $l$ と $m$ が点Pで交わるとき、$PA = PB$ であることを証明する。

1. 問題の内容

点Oを中心とする円Oの円周上に2点A, Bがある。A, Bを通る円Oの接線をそれぞれ $l$, $m$ とする。直線 $l$ と $m$ が点Pで交わるとき、$PA = PB$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

円の中心Oと接点A, Bを結ぶ。

すると、OA, OBはそれぞれ接線 $l$, $m$ と垂直になる。

つまり、$\angle OAP = 90^\circ$ かつ $\angle OBP = 90^\circ$ である。

$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ において、

$OA = OB$ (円の半径)

$OP = OP$ (共通)

$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$

したがって、$\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ (斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい)

合同な図形の対応する辺は等しいので、$PA = PB$

3. 最終的な答え

$\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ より、$PA = PB$ である。