中心がO、直径ABが4の半円の弧の中点をMとする。点Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射し、AB上の点Qにくるとする。 (1) $\theta = \angle PAB$ とするとき、$OQ$の長さを $\theta$ で表す。 (2) 点Pが点Bに限りなく近づくとき、点Qはどんな点に近づいていくか。

1. 問題の内容

中心がO、直径ABが4の半円の弧の中点をMとする。点Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射し、AB上の点Qにくるとする。

(1) $\theta = \angle PAB$ とするとき、$OQ$の長さを $\theta$ で表す。

(2) 点Pが点Bに限りなく近づくとき、点Qはどんな点に近づいていくか。

2. 解き方の手順

(1) $OQ = \frac{2 \sin \theta}{\sin 3\theta}$ は問題文に解答として与えられています。

(2) 点Pが点Bに限りなく近づくとき、$\theta$ は 0 に近づきます。

したがって、$OQ$ の極限を $\theta \to 0$ で計算します。

これは不定形 ($\frac{0}{0}$ 型) なので、ロピタルの定理を使用します。

$OQ = \frac{2 \sin \theta}{\sin 3\theta}$ より

$\lim_{\theta \to 0} \frac{2 \sin \theta}{\sin 3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{2 \cos \theta}{3 \cos 3\theta}$

$= \frac{2 \cos 0}{3 \cos 0} = \frac{2}{3}$

したがって、点Qは線分OB上のOからの距離が $\frac{2}{3}$ にある点に近づきます。

3. 最終的な答え

(1) $OQ = \frac{2 \sin \theta}{\sin 3\theta}$

(2) 線分 OB 上の O から $\frac{2}{3}$ の距離にある点