中心がO、直径ABが4の半円の弧の中点をMとする。Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射して、AB上の点Qにくるとする。 (1) $\theta = \angle PAB$ とするとき、OQの長さを$\theta$で表す。 (2) PがBに限りなく近づくとき、Qはどんな点に近づいていくか。

1. 問題の内容

中心がO、直径ABが4の半円の弧の中点をMとする。Aから出た光線が弧MB上の点Pで反射して、AB上の点Qにくるとする。

(1) $\theta = \angle PAB$ とするとき、OQの長さを$\theta$で表す。

(2) PがBに限りなく近づくとき、Qはどんな点に近づいていくか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、円の半径を考える。直径ABが4なので、半径OA, OB, OPは2となる。

$\angle PAB = \theta$ より、反射の法則から $\angle APQ = \theta$。

三角形APQにおいて、$\angle AQP = 180^\circ - 2\theta$ となる。

よって、$\angle OQP = 180^\circ - (180^\circ - 2\theta) = 2\theta$。

三角形OPQにおいて、$\angle OPQ = 180^\circ - \angle POQ - \angle OQP = 180^\circ - \angle POQ - 2\theta$。

OP = OQ = 2 より、三角形OPQは二等辺三角形なので、$\angle OPQ = \angle OPA$.

したがって、$\angle POQ = 180^\circ - 4\theta$.

$\angle AOP = 180^\circ - \angle POQ = 180^\circ - (180^\circ - 4\theta) = 4\theta$.

$AQ = OA - OQ = 2- OQ$, and $OQ = x$

$\angle OPA = \angle OQP = 2\theta$

三角形OPAについて正弦定理より、

$OA/\sin{\angle OPA}=OP/\sin{\angle OAP}$

$OA=OP=2$　なので、$\sin{\angle OPA}=\sin{\angle OAP}$, which means $\angle OAP = \angle OPA = 2\theta$

三角形OPAについて、内角の和から　$4\theta +\angle AOP = 180^\circ$となり、$\angle AOP = 180^\circ - 4\theta$

$\angle AOP = 180^\circ - 4\theta$より、$AQ = OA \cos 4\theta$、よって$OQ= 2\cos 4\theta$.

(2)

PがBに限りなく近づくとき、$\theta$は$\frac{\pi}{4}$に近づく。よって、$\theta \rightarrow \frac{\pi}{4}$。

$OQ = OA*cos(4\theta) = 2\cos(4\theta)$.

$\theta \to \frac{\pi}{4}$ のとき、$OQ = 2\cos(\pi) = 2*(-1) = -2$.

したがって、QはAから左に2だけ離れた点、つまり点Oから左に2離れた点に近づく。

点Aに限りなく近づくので、$P \to B$のとき、$\theta \to 0$なので，$OQ \to 2$

3. 最終的な答え

(1) $OQ = 2\cos(4\theta)$

(2) 点O