半径 $r$ cm の半球があり、中心を $O$ とする。半球の切り口の円周上に $\angle AOB = 90^\circ$ となるように点 $A, B$ をとる。また、半球の表面上に $\angle AOC = \angle BOC = 90^\circ$ となる点 $C$ をとる。半球を点 $A, O, C$ を通る平面と点 $B, O, C$ を通る平面の2つの平面で切ったとき、点 $A, B, C$ を含む立体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

半径 $r$ cm の半球があり、中心を $O$ とする。半球の切り口の円周上に $\angle AOB = 90^\circ$ となるように点 $A, B$ をとる。また、半球の表面上に $\angle AOC = \angle BOC = 90^\circ$ となる点 $C$ をとる。半球を点 $A, O, C$ を通る平面と点 $B, O, C$ を通る平面の2つの平面で切ったとき、点 $A, B, C$ を含む立体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

立体 $V$ は、底面が直角二等辺三角形 $OAB$ で、高さが $OC = r$ である三角錐2つを合わせたものであると考えられる。

$\angle AOB = \angle AOC = \angle BOC = 90^\circ$ であるから、立体 $V$ は、直角三角形 $OAB$, $OAC$, $OBC$ を底面とする3つの三角錐に分割することができる。

これらの3つの三角錐は互いに合同である。

底面を $OAB$ とする三角錐の体積は、

$$\frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ}) = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times r \times r \right) \times r = \frac{1}{6} r^3$$

したがって、立体 $V$ の体積は、この三角錐の体積の2倍である。

$$V = 2 \times \frac{1}{6} r^3 = \frac{1}{3} r^3$$

別の解き方として、$OA, OB, OC$ が互いに直交しているので、この立体は直方体の $\frac{1}{8}$ の体積に相当すると考えられる。

したがって、

$$V = \frac{1}{8} \times (2r) \times (2r) \times (2r) = \frac{1}{8} r^3 \times 2 \times 2 \times 2 = r^3/8$$

$$\frac{1}{6} r^3 \times 3 = \frac{1}{2} r^3$$

この立体は、3つの平面（AOC, BOC, AOB)で区切られた部分であり、直方体ではない。

半球の半径を$r$とすると、直角二等辺三角形$OAB$の面積は$\frac{1}{2}r^2$である。

この三角形を底面とし、$C$を頂点とする三角錐の体積は、$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}r^2\times r = \frac{1}{6}r^3$となる。

3. 最終的な答え

立体 $V$ の体積は $\frac{1}{6}r^3$ 立方センチメートルである。

$V = \frac{1}{6}r^3$