点Aの座標が $(5, 0)$、点Bの座標が $(\frac{27}{2}, \frac{9\sqrt{3}}{2})$ である。原点をOとし、OC:AC = 3:2 を満たす動点Cを考える。 (1) 点Cの軌跡を求めよ。 (2) $\triangle OBC$ の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

点Aの座標が $(5, 0)$、点Bの座標が $(\frac{27}{2}, \frac{9\sqrt{3}}{2})$ である。原点をOとし、OC:AC = 3:2 を満たす動点Cを考える。

(1) 点Cの軌跡を求めよ。

(2) $\triangle OBC$ の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Cの座標を $(x, y)$ とする。OC:AC = 3:2 より、$2OC = 3AC$ なので、$4OC^2 = 9AC^2$ である。

$OC^2 = x^2 + y^2$

$AC^2 = (x-5)^2 + (y-0)^2 = (x-5)^2 + y^2$

よって、

$4(x^2 + y^2) = 9((x-5)^2 + y^2)$

$4x^2 + 4y^2 = 9(x^2 - 10x + 25 + y^2)$

$4x^2 + 4y^2 = 9x^2 - 90x + 225 + 9y^2$

$5x^2 - 90x + 5y^2 + 225 = 0$

$x^2 - 18x + y^2 + 45 = 0$

$(x-9)^2 - 81 + y^2 + 45 = 0$

$(x-9)^2 + y^2 = 36$

これは、中心が $(9, 0)$ で半径が $6$ の円である。

(2) $\triangle OBC$ の面積を考える。点Bの座標は $(\frac{27}{2}, \frac{9\sqrt{3}}{2})$ であり、Cは円 $(x-9)^2 + y^2 = 36$ 上の点である。

$\triangle OBC$ の面積は $\frac{1}{2} |(\frac{27}{2}y - \frac{9\sqrt{3}}{2}x)| = \frac{9}{4} |3y - \sqrt{3}x|$ となる。

$x = 9 + 6\cos\theta$

$y = 6\sin\theta$

とおける。

$3y - \sqrt{3}x = 18\sin\theta - \sqrt{3}(9 + 6\cos\theta) = 18\sin\theta - 9\sqrt{3} - 6\sqrt{3}\cos\theta$

$= 12\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) - 9\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - 9\sqrt{3}$

最大値は $12\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

面積の最大値は $\frac{9}{4} \times 3\sqrt{3} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 点Cの軌跡: $(x-9)^2 + y^2 = 36$ (中心 $(9, 0)$, 半径 $6$ の円)

(2) $\triangle OBC$ の面積の最大値: $\frac{27\sqrt{3}}{4}$