平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をE、辺CDを3:2に内分する点をFとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$、$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AE} = \vec{u}$、$\overrightarrow{AF} = \vec{v}$とするとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$を$\vec{u}$と$\vec{v}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をE、辺CDを3:2に内分する点をFとする。$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$、$\overrightarrow{AD} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AE} = \vec{u}$、$\overrightarrow{AF} = \vec{v}$とするとき、$\vec{a}$と$\vec{b}$を$\vec{u}$と$\vec{v}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{u}$と$\vec{v}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

点Eは辺BCの中点なので、$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$。

平行四辺形なので、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$。

よって、

$\vec{u} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$。

点Fは辺CDを3:2に内分するので、$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF}$。

$\overrightarrow{DF} = \frac{3}{5}\overrightarrow{DC}$。

平行四辺形なので、$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$。

よって、

$\vec{v} = \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{a}$。

次に、$\vec{a}$と$\vec{b}$を$\vec{u}$と$\vec{v}$を用いて表す。

$\vec{u} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$より、

$2\vec{u} = 2\vec{a} + \vec{b}$。

$\vec{v} = \frac{3}{5}\vec{a} + \vec{b}$より、

$\vec{b} = \vec{v} - \frac{3}{5}\vec{a}$。

これを$2\vec{u} = 2\vec{a} + \vec{b}$に代入すると、

$2\vec{u} = 2\vec{a} + \vec{v} - \frac{3}{5}\vec{a}$

$2\vec{u} - \vec{v} = \frac{7}{5}\vec{a}$

$\vec{a} = \frac{5}{7}(2\vec{u} - \vec{v})$

$\vec{a} = \frac{10}{7}\vec{u} - \frac{5}{7}\vec{v}$

$\vec{b} = \vec{v} - \frac{3}{5}\vec{a}$に代入すると、

$\vec{b} = \vec{v} - \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} (2\vec{u} - \vec{v})$

$\vec{b} = \vec{v} - \frac{3}{7} (2\vec{u} - \vec{v})$

$\vec{b} = \vec{v} - \frac{6}{7}\vec{u} + \frac{3}{7}\vec{v}$

$\vec{b} = -\frac{6}{7}\vec{u} + \frac{10}{7}\vec{v}$

3. 最終的な答え

$\vec{a} = \frac{10}{7}\vec{u} - \frac{5}{7}\vec{v}$

$\vec{b} = -\frac{6}{7}\vec{u} + \frac{10}{7}\vec{v}$