三角形ABCにおいて、辺の比 $a:b:c = 2\sqrt{2}:2:(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ が与えられたとき、最大の角の大きさを求める問題です。

幾何学三角形辺の比余弦定理角度
2025/8/9

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の比 a:b:c=22:2:(62)a:b:c = 2\sqrt{2}:2:(\sqrt{6}-\sqrt{2}) が与えられたとき、最大の角の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

最大の角は、最も長い辺の対角に位置します。したがって、辺 a,b,ca, b, c の長さを比較し、a,b,ca, b, c の中で最も長い辺を見つけることから始めます。
a=22,b=2,c=62a = 2\sqrt{2}, b = 2, c = \sqrt{6} - \sqrt{2} を比較します。
a2=(22)2=8a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8, b2=22=4b^2 = 2^2 = 4, c2=(62)2=6212+2=843c^2 = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}
a>ba > b は明らか。aacc を比較するために、a2a^2c2c^2 を比較します。
a2c2=8(843)=43>0a^2 - c^2 = 8 - (8 - 4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} > 0
したがって、a2>c2a^2 > c^2 であり、a>ca > c
よって、a>ba > b かつ a>ca > c より、aa が最も長い辺であることがわかります。
したがって、求めるべき角は角Aです。余弦定理を用いて角Aを求めます。
余弦定理より、
a2=b2+c22bccosAa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
cosA=b2+c2a22bccosA = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
cosA=4+(843)822(62)=4434(62)=1362cosA = \frac{4 + (8 - 4\sqrt{3}) - 8}{2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{4 - 4\sqrt{3}}{4(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}
cosA=132(31)=12=22cosA = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
cosA=22cosA = -\frac{\sqrt{2}}{2} を満たす角Aは、A = 135135^{\circ}

3. 最終的な答え

135135^{\circ}

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