一辺の長さが $a$ の正四面体について、以下の量を $a$ を用いて表す。 (1) 高さ $h$ (2) 体積 $V$ (3) 2面のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ (4) 対辺の距離 $l$ (5) 外接球の半径 $R$ (6) 内接球の半径 $r$

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正四面体について、以下の量を $a$ を用いて表す。

(1) 高さ $h$

(2) 体積 $V$

(3) 2面のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$

(4) 対辺の距離 $l$

(5) 外接球の半径 $R$

(6) 内接球の半径 $r$

2. 解き方の手順

(1) 高さ $h$ を求める。正四面体の頂点から底面に下ろした垂線の足は、底面の正三角形の重心に一致する。底面の正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ であり、重心までの距離は高さの $\frac{2}{3}$ なので、$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$ となる。ピタゴラスの定理より、

$h^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2 = a^2$

$h^2 + \frac{3}{9}a^2 = a^2$

$h^2 = \frac{6}{9}a^2 = \frac{2}{3}a^2$

$h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(2) 体積 $V$ を求める。底面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ であり、高さは $\frac{\sqrt{6}}{3}a$ なので、体積は

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{18}}{36}a^3 = \frac{3\sqrt{2}}{36}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

(3) 2面のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求める。2つの面が共有する辺の中点から、それぞれの面上の、その辺と垂直な線を引き、そのなす角を $\theta$ とする。それらの線分と、正四面体の高さ $h$ は、正三角形の一つの頂点から底面の重心までの距離の2倍となる。その二等辺三角形の頂角がなす角$\theta$。

$\cos \theta = \frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2} a} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{3}$

(4) 対辺の距離 $l$ を求める。正四面体の対辺は互いに垂直で、その距離は正四面体の高さに等しい。

$l = a$

(5) 外接球の半径 $R$ を求める。正四面体の外接球の中心は、頂点から底面までの距離を $x$ とすると、$4R^2=3a^2$

$R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$

(6) 内接球の半径 $r$ を求める。内接球の中心から各面に垂線を引くと、正四面体は4つの合同な四面体に分割される。それぞれの四面体の体積は $V/4$ であり、底面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ なので、高さは $r$ となる。

$\frac{V}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot r$

$\frac{\sqrt{2}}{48}a^3 = \frac{\sqrt{3}}{12}a^2 r$

$r = \frac{\sqrt{2}}{48} \cdot \frac{12}{\sqrt{3}}a = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3} } a = \frac{\sqrt{6}}{12}a$

3. 最終的な答え

(1) $h = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(2) $V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

(3) $\cos \theta = \frac{1}{3}$

(4) $l = a$

(5) $R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$

(6) $r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$