問題は、図において $BE = CD$ かつ $\angle EBC = \angle DCB$ ならば、$\triangle ABC$ が二等辺三角形であることを証明することです。

1. 問題の内容

問題は、図において $BE = CD$ かつ $\angle EBC = \angle DCB$ ならば、$\triangle ABC$ が二等辺三角形であることを証明することです。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle EBC$ と $\triangle DBC$ において、以下の条件が与えられています。

* $BE = CD$ (仮定)

* $\angle EBC = \angle DCB$ (仮定)

* $BC = CB$ (共通の辺)

これらより、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle EBC \equiv \triangle DBC$ （SAS合同）が成り立ちます。

したがって、合同な図形の対応する角は等しいので、$\angle BEC = \angle CDB$ が成り立ちます。

また、合同な図形の対応する辺は等しいので、$EC = DB$ が成り立ちます。

次に、$\triangle ABD$ と $\triangle ACE$ について考えます。

* $DB = EC$ (上で証明済み)

* $\angle DBC = \angle ECB$。したがって、$\angle ABC = \angle ACB$ （$\angle ABC = \angle EBC$と$\angle ACB = \angle DCB$より）

* $BE = CD$ なので、$AB = AE + EB$ , $AC = AD + DC$となります。

ここで、$AB = AC$ を示すことができれば、$\triangle ABC$ は二等辺三角形であると言えます。

$\triangle EBC \equiv \triangle DBC$より、$\angle BEC = \angle CDB$。

また、$\angle ABC = \angle ACB$。

したがって、$\triangle ABC$ において、$\angle ABC = \angle ACB$ であるから、$\triangle ABC$ は二等辺三角形です（底角が等しい三角形は二等辺三角形である）。

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$は二等辺三角形である。