三角形があり、2辺の長さが9と24、その間の角が135°とわかっています。この三角形の面積を求めます。

## (3)の問題

1. 問題の内容

三角形があり、2辺の長さが9と24、その間の角が135°とわかっています。この三角形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

三角形の面積を求める公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$ を利用します。ここで、$a$ と $b$ は既知の辺の長さ、 $C$ はその間の角です。

まず、$\sin{135^\circ}$ を計算します。$135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$ であるため、$\sin{135^\circ} = \sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

次に、公式に値を代入します。

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 24 \cdot \sin{135^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 9 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 9 \cdot 6 \cdot \sqrt{2}$

$S = 54\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

三角形の面積は $54\sqrt{2}$ です。

## (4)の問題

1. 問題の内容

三角形があり、一辺の長さが6、その両端の角が75°と45°とわかっています。この三角形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角形の残りの角を求めます。三角形の内角の和は180°なので、

$180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

残りの角は60°です。

次に、正弦定理を使って、他の辺の長さを求めます。

正弦定理は $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$です。

6の辺の対角は75°なので、

$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 75^\circ}$

$a = \frac{6 \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{6 \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2} * 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{12}{\sqrt{3}+1} = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{3-1} = 6(\sqrt{3}-1)$

$\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{6}{\sin 75^\circ}$

$b = \frac{6 \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{6 \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{3} * 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{6\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{2} = 3\sqrt{6}(\sqrt{3} -1) = 3(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$

三角形の面積を求める公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$ を利用します。

$S = \frac{1}{2} * 6 * 6(\sqrt{3}-1) * \sin 60^\circ = \frac{1}{2} * 6 * 6(\sqrt{3}-1) * \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = 9(3-\sqrt{3}) = 27 - 9\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

三角形の面積は $27 - 9\sqrt{3}$ です。