直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=3, BC=8, BF=4である。 (1) ACとCFの長さを求める。 (2) θ=∠AFCとしたとき、cosθの値を求める。 (3) △AFCの面積を求める。 (4) 頂点Bから△AFCに下ろした垂線BKの長さを求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=3, BC=8, BF=4である。

(1) ACとCFの長さを求める。

(2) θ=∠AFCとしたとき、cosθの値を求める。

(3) △AFCの面積を求める。

(4) 頂点Bから△AFCに下ろした垂線BKの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

△ABCは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$

よって、$AC = \sqrt{73}$

CFの長さを求める。

△CFGは直角三角形なので、三平方の定理より、

$CF^2 = CG^2 + FG^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$

よって、$CF = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$

(2) cosθの値を求める。

△AFCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AF^2 + CF^2 - 2 \times AF \times CF \times cosθ$

$cosθ = \frac{AF^2 + CF^2 - AC^2}{2 \times AF \times CF}$

AFの長さを求める。

△ABFは直角三角形なので、三平方の定理より、

$AF^2 = AB^2 + BF^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

よって、$AF = 5$

cosθの値を計算する。

$cosθ = \frac{5^2 + (4\sqrt{5})^2 - (\sqrt{73})^2}{2 \times 5 \times 4\sqrt{5}} = \frac{25 + 80 - 73}{40\sqrt{5}} = \frac{32}{40\sqrt{5}} = \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{25}$

(3) △AFCの面積を求める。

$sin^2θ + cos^2θ = 1$より、

$sin^2θ = 1 - cos^2θ = 1 - (\frac{4\sqrt{5}}{25})^2 = 1 - \frac{16 \times 5}{625} = 1 - \frac{80}{625} = 1 - \frac{16}{125} = \frac{109}{125}$

$sinθ = \sqrt{\frac{109}{125}} = \frac{\sqrt{109}}{5\sqrt{5}}$

△AFCの面積は、$\frac{1}{2} \times AF \times CF \times sinθ = \frac{1}{2} \times 5 \times 4\sqrt{5} \times \frac{\sqrt{109}}{5\sqrt{5}} = 2\sqrt{109}$

(4) 頂点Bから△AFCに下ろした垂線BKの長さを求める。

四面体ABFCの体積を2通りの方法で求める。

底面を△ABFとすると、高さはBC=8なので、体積は

$\frac{1}{3} \times △ABF \times BC = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \times AB \times BF) \times BC = \frac{1}{6} \times 3 \times 4 \times 8 = 16$

底面を△AFCとすると、高さはBKなので、体積は

$\frac{1}{3} \times △AFC \times BK = 16$

$\frac{1}{3} \times 2\sqrt{109} \times BK = 16$

$BK = \frac{16 \times 3}{2\sqrt{109}} = \frac{24}{\sqrt{109}} = \frac{24\sqrt{109}}{109}$

3. 最終的な答え

1: ア

2: エ

3: イ

4: ウ

5: イ