図1において、線分AEと線分BDの交点をFとする。このとき、∠AFDの大きさを求め、また、図2において、△ABHの面積は△ABDの面積の何倍かを求める。さらに、∠DAB = ∠EBAであることを証明する。

1. 問題の内容

図1において、線分AEと線分BDの交点をFとする。このとき、∠AFDの大きさを求め、また、図2において、△ABHの面積は△ABDの面積の何倍かを求める。さらに、∠DAB = ∠EBAであることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、∠AFDの大きさを求める。

∠ADB = 90°、∠BEA = 90°であることから、四角形ADBEの内角の和は360°なので、∠DAE + ∠DBE = 360° - 90° - 90° = 180°となる。

三角形AFBにおいて、∠AFDは外角なので、∠AFD = ∠FAB + ∠FBAとなる。

∠FAB = ∠DAE、∠FBA = ∠DBEなので、∠AFD = ∠DAE + ∠DBEである。

したがって、∠AFD = 180° - (∠DAE + ∠DBE) = 180° - (180° - ∠DAE - ∠DBE) = 90°

∠DAE+∠DBE=180°より, ∠AEB+∠ADB＝180°より　円に内接する四角形AEBDとなる。

次に、∠DAB = ∠EBA であることを証明する。

△ABDと△BAEにおいて、

仮定より、∠ADB = ∠BEA = 90° ...①

共通な辺だから、AB = BA ...②

円Aと円Bの半径は等しいから、AD = BE ...③

①, ②, ③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、△ABD ≡ △BAE

合同な図形では、対応する角の大きさはそれぞれ等しいから、∠DAB = ∠EBA

次に、図2において、△ABHの面積は△ABDの面積の何倍か求める。

BEとGHが平行なので△ABHと△GBEは相似の関係になる.

∠ABE=∠GBEより, △ABHの面積は△ABDの面積の1倍になる.

3. 最終的な答え

∠AFD = 90°

証明：△ABD ≡ △BAE、合同な図形では、対応する角の大きさはそれぞれ等しいから、∠DAB = ∠EBA

△ABHの面積は△ABDの面積の1倍