一辺の長さが1の正六角形ABCDEFがあり、その中心をOとする。線分OCを2:1に内分する点をP、線分OEを1:2に内分する点をQとし、三角形APQの重心をGとする。$AB = \vec{a}, AF = \vec{b}$とおくとき、$\vec{OP}, \vec{OQ}, \vec{AP}, \vec{AQ}, \vec{AG}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す問題。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正六角形ABCDEFがあり、その中心をOとする。線分OCを2:1に内分する点をP、線分OEを1:2に内分する点をQとし、三角形APQの重心をGとする。$AB = \vec{a}, AF = \vec{b}$とおくとき、$\vec{OP}, \vec{OQ}, \vec{AP}, \vec{AQ}, \vec{AG}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す問題。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OP}$を求める。

$OC = AB + BC = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{OP} = \frac{2}{3}\vec{OC} = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

よって$\vec{OP} = \frac{2}{3}\vec{a}$

(2) $\vec{OQ}$を求める。

$\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{OE}$

$OE = AF = \vec{b}$より

$\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{b}$

(3) $\vec{AP}$を求める。

$\vec{AP} = \vec{AO} + \vec{OP} = -(\vec{a} + \vec{b}) + \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b}$

(4) $\vec{AQ}$を求める。

$\vec{AQ} = \vec{AO} + \vec{OQ} = -(\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{3}\vec{b} = -\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

よって

$\vec{AQ} = -\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

(5) $\vec{AG}$を求める。

$\vec{AG} = \frac{\vec{AA} + \vec{AP} + \vec{AQ}}{3} = \frac{\vec{0} - \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} -\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}}{3} = \frac{-\frac{4}{3}\vec{a} - \vec{b}}{3} = -\frac{4}{9}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{2}{3} \vec{a}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{3} \vec{b}$

$\vec{AP} = -\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

$\vec{AQ} = -\vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

$\vec{AG} = -\frac{4}{9} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

したがって、

ア = 2, イ = 3, ウ = 1, エ = 3, オ = -1, カ = 3, キ = -2, ク = 3, ケ = -4, コ = 9, サ = -1, シ = 3