直線 $y = x + 5$ と傾き -2 の直線 $m$ が点 A(1, 6) で交わっている。直線 $y = x + 5$ と直線 $m$ が $x$ 軸と交わる点をそれぞれ B, C とし、線分 AC の中点を M とする。このとき、以下の問いに答える。 (1) 直線 $m$ の式を求めよ。 (2) 点 B, C の座標をそれぞれ求めよ。 (3) $\triangle ABC$ と $\triangle AOM$ の面積比を最も簡単な整数の比で表せ。 (4) 四角形 AOMN が平行四辺形になるような点 N の座標を求めよ。 (5) C を通り、$\triangle ABC$ の面積を 2 等分する直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = x + 5$ と傾き -2 の直線 $m$ が点 A(1, 6) で交わっている。直線 $y = x + 5$ と直線 $m$ が $x$ 軸と交わる点をそれぞれ B, C とし、線分 AC の中点を M とする。このとき、以下の問いに答える。

(1) 直線 $m$ の式を求めよ。

(2) 点 B, C の座標をそれぞれ求めよ。

(3) $\triangle ABC$ と $\triangle AOM$ の面積比を最も簡単な整数の比で表せ。

(4) 四角形 AOMN が平行四辺形になるような点 N の座標を求めよ。

(5) C を通り、$\triangle ABC$ の面積を 2 等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $m$ は傾きが -2 で、点 A(1, 6) を通るので、$y = -2x + b$ に A の座標を代入すると、$6 = -2(1) + b$ より $b = 8$。したがって、直線 $m$ の式は $y = -2x + 8$。

(2) 点 B は $y = x + 5$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入すると、$0 = x + 5$ より $x = -5$。したがって、点 B の座標は (-5, 0)。

点 C は $y = -2x + 8$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入すると、$0 = -2x + 8$ より $x = 4$。したがって、点 C の座標は (4, 0)。

(3) 点 M は線分 AC の中点なので、M の座標は $\left(\frac{1+4}{2}, \frac{6+0}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3\right)$。

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \times BC \times (Aのy座標)$。BC の長さは $4 - (-5) = 9$ より、$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$。

$\triangle AOM$ の面積は $\frac{1}{2} \times OC \times (Aのx座標)$。OC の長さは $\frac{5}{2}$ より、$\triangle AOM = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times 6 = \frac{15}{2}$。

面積比は $\triangle ABC : \triangle AOM = 27 : \frac{15}{2} = 54 : 15 = 18 : 5$。

(4) 四角形 AOMN が平行四辺形になるには、$\vec{AO} = \vec{MN}$ が成り立つ必要がある。$\vec{AO} = (1-0, 6-0) = (-1, -6)$。M の座標は $\left(\frac{5}{2}, 3\right)$ であり、$N(x, y)$ とすると、$\vec{MN} = (x-\frac{5}{2}, y-3)$。

したがって、$x - \frac{5}{2} = -1$ より $x = \frac{3}{2}$、$y - 3 = -6$ より $y = -3$。よって、点 N の座標は $\left(\frac{3}{2}, -3\right)$。

(5) $\triangle ABC$ の面積を 2 等分する直線は、辺 AB の中点を通る。AB の中点を P とすると、P の座標は $\left(\frac{1+(-5)}{2}, \frac{6+0}{2}\right) = (-2, 3)$。求める直線は C(4, 0) と P(-2, 3) を通る。

直線の傾きは $\frac{3-0}{-2-4} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$。よって、$y = -\frac{1}{2}x + b$ に C(4, 0) を代入すると、$0 = -\frac{1}{2}(4) + b$ より $b = 2$。したがって、求める直線の式は $y = -\frac{1}{2}x + 2$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x + 8$

(2) B(-5, 0), C(4, 0)

(3) 18 : 5

(4) N($\frac{3}{2}$, -3)

(5) $y = -\frac{1}{2}x + 2$