三角形 ABC に関する以下の 3 つの問題を解きます。 (1) $AB = 6$, $AC = 3$, $\angle B = 30^\circ$ のとき, $\sin C$ を求めます。 (2) $AB = 5$, $BC = 6$, $AC = 7$ のとき, $\cos B$ を求めます。 (3) $AB = 5$, $AC = 4$, $\angle A = 30^\circ$ のとき, 三角形 ABC の面積を求めます。

1. 問題の内容

三角形 ABC に関する以下の 3 つの問題を解きます。

(1) $AB = 6$, $AC = 3$, $\angle B = 30^\circ$ のとき, $\sin C$ を求めます。

(2) $AB = 5$, $BC = 6$, $AC = 7$ のとき, $\cos B$ を求めます。

(3) $AB = 5$, $AC = 4$, $\angle A = 30^\circ$ のとき, 三角形 ABC の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を使って $\sin C$ を求めます。

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$ より、

$\frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{\sin C}$

$\sin C = \frac{6 \sin 30^\circ}{3} = \frac{6 \times \frac{1}{2}}{3} = \frac{3}{3} = 1$

(2) 余弦定理を使って $\cos B$ を求めます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos B$ より、

$7^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \times 5 \times 6 \times \cos B$

$49 = 25 + 36 - 60 \cos B$

$60 \cos B = 25 + 36 - 49 = 12$

$\cos B = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

(3) 三角形の面積の公式を使って面積を求めます。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A$

$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \frac{1}{2} = 5$

3. 最終的な答え

(1) $\sin C = 1$

(2) $\cos B = \frac{1}{5}$

(3) 三角形 ABC の面積は 5