関数 $y = \frac{1}{3}x^2$ のグラフ上に、$x$座標がそれぞれ$-3$と$6$である点A, Bをとる。直線ABと$y$軸の交点をCとする。 (1) 直線ABの式を求める。 (2) $\triangle$OABの面積を求める。 (3) 関数 $y = \frac{1}{3}x^2$ のグラフ上で、点Aと点Bの間に点Pをとり、$\triangle$OCPの面積と$\triangle$OABの面積の比が$2:5$になるようにする。このとき、点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{3}x^2$ のグラフ上に、$x$座標がそれぞれ$-3$と$6$である点A, Bをとる。直線ABと$y$軸の交点をCとする。

(1) 直線ABの式を求める。

(2) $\triangle$OABの面積を求める。

(3) 関数 $y = \frac{1}{3}x^2$ のグラフ上で、点Aと点Bの間に点Pをとり、$\triangle$OCPの面積と$\triangle$OABの面積の比が$2:5$になるようにする。このとき、点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

$x = -3$ のとき、$y = \frac{1}{3}(-3)^2 = \frac{1}{3}(9) = 3$。よって、A(-3, 3)。

$x = 6$ のとき、$y = \frac{1}{3}(6)^2 = \frac{1}{3}(36) = 12$。よって、B(6, 12)。

直線ABの式を $y = ax + b$ とおく。

A(-3, 3)を通るので、$3 = -3a + b$。

B(6, 12)を通るので、$12 = 6a + b$。

この連立方程式を解く。

$12 = 6a + b$

$3 = -3a + b$

引くと $9 = 9a$ より、$a = 1$。

$3 = -3(1) + b$ より、$b = 6$。

よって、直線ABの式は $y = x + 6$。

(2) $\triangle$OABの面積を求める。

直線ABと$y$軸の交点Cの$y$座標は、$x = 0$ を $y = x + 6$ に代入して、$y = 6$。よって、C(0, 6)。

$\triangle$OABの面積は、$\triangle$OACの面積と$\triangle$OBCの面積の和で求めることができる。

$\triangle$OACの面積は $\frac{1}{2} \times OC \times |Aのx座標| = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$。

$\triangle$OBCの面積は $\frac{1}{2} \times OC \times Bのx座標 = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$。

$\triangle$OABの面積は $9 + 18 = 27$。

別解として、点A,Bからx軸へ垂線を下ろした点をそれぞれD,Eとする。

この時、ABEDは台形であり、OはDE上に存在する。

$\triangle OAB = ABED - \triangle ADO - \triangle OBE$

$ABED = \frac{3+6}{2}*(12-3) = \frac{9}{2}*9 = \frac{81}{2}$

$\triangle ADO = \frac{3*3}{2} = \frac{9}{2}$

$\triangle OBE = \frac{6*12}{2} = 36 = \frac{72}{2}$

よって

$\triangle OAB = \frac{81}{2} - \frac{9}{2} - \frac{72}{2} = \frac{81-9-72}{2} = \frac{0}{2} = 0$

これは間違っているので、以下の解法を使う。

$\triangle OAB = \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |(-3)(12) - (6)(3)| = \frac{1}{2} |-36 - 18| = \frac{1}{2} |-54| = 27$

(3) 点Pの座標を求める。

点Pの$x$座標を $t$ とすると、$y = \frac{1}{3}t^2$ より、P($t, \frac{1}{3}t^2$)。

$\triangle$OCPの面積は $\frac{1}{2} \times OC \times |Pのx座標| = \frac{1}{2} \times 6 \times |t| = 3|t|$。

$\triangle$OCPの面積 : $\triangle$OABの面積 = $2:5$ なので、$3|t| : 27 = 2:5$。

$3|t| \times 5 = 27 \times 2$

$15|t| = 54$

$|t| = \frac{54}{15} = \frac{18}{5}$

$-3 < t < 6$ なので、$t = \pm \frac{18}{5}$。

$t = \frac{18}{5}$ のとき、$y = \frac{1}{3}(\frac{18}{5})^2 = \frac{1}{3}(\frac{324}{25}) = \frac{108}{25}$。

$t = -\frac{18}{5}$ のとき、$y = \frac{1}{3}(-\frac{18}{5})^2 = \frac{1}{3}(\frac{324}{25}) = \frac{108}{25}$。

$x$座標は $-3 < x < 6$ なので、$-\frac{18}{5} = -3.6$ なので、これは条件を満たさない。

$\frac{18}{5} = 3.6$ なので条件を満たす。

よって、点Pの座標は ($\frac{18}{5}, \frac{108}{25}$)。

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 6$

(2) 27

(3) $(\frac{18}{5}, \frac{108}{25})$