四角形ABCDは、ADとBCが平行な台形であり、線分ACとDBの交点をEとする。AB=AD、∠BAC=$80^\circ$、∠ACB=$30^\circ$のとき、∠DECの大きさを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDは、ADとBCが平行な台形であり、線分ACとDBの交点をEとする。AB=AD、∠BAC=$80^\circ$、∠ACB=$30^\circ$のとき、∠DECの大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、△ABCについて考えます。∠ABCは三角形の内角の和が$180^\circ$であることから、

$∠ABC = 180^\circ - ∠BAC - ∠ACB = 180^\circ - 80^\circ - 30^\circ = 70^\circ$

次に、AD//BCより、錯角は等しいので、

$∠ADB = ∠DBC$

また、AB=ADより△ABDは二等辺三角形なので、∠ABD=∠ADB

$∠ABD = ∠DBC$なので$∠ABC=∠ABD+∠DBC=70^\circ$

よって、$∠ABD=35^\circ$、$∠ADB=35^\circ$

△ADEにおいて、AD=ABなので∠ADB=∠ABD=$35^\circ$

∠DAE=$x$とすると、$∠ADE=35^\circ$

$x+35^\circ+35^\circ=180^\circ$

$x=110^\circ$

したがって$∠DAE=110^\circ$

∠DAC = ∠DAE-∠CAE = 110-80 = 30度

AD//BCより錯角は等しいので、∠DAC=∠BCA=30度

$∠DEC=∠DAE+∠ACB=35+30=65$

3. 最終的な答え

∠DEC = $115^\circ$