$y = \frac{1}{3}x^2$ のグラフ上に、$x$ 座標がそれぞれ $-3$ と $6$ である点 A, B がある。直線 AB と $y$ 軸の交点を C とする。以下の問いに答えよ。 (1) 直線 AB の式を求めよ。 (2) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。 (3) 関数 $y = \frac{1}{3}x^2$ のグラフ上で、点 A と点 B の間に点 P をとる。$\triangle OCP$ の面積と $\triangle OAB$ の面積の比が $2:5$ になるとき、点 P の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$y = \frac{1}{3}x^2$ のグラフ上に、$x$ 座標がそれぞれ $-3$ と $6$ である点 A, B がある。直線 AB と $y$ 軸の交点を C とする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線 AB の式を求めよ。

(2) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。

(3) 関数 $y = \frac{1}{3}x^2$ のグラフ上で、点 A と点 B の間に点 P をとる。$\triangle OCP$ の面積と $\triangle OAB$ の面積の比が $2:5$ になるとき、点 P の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 A と点 B の座標を求める。

点 A の $x$ 座標は $-3$ なので、$y = \frac{1}{3}(-3)^2 = \frac{1}{3}(9) = 3$。よって、点 A の座標は $(-3, 3)$。

点 B の $x$ 座標は $6$ なので、$y = \frac{1}{3}(6)^2 = \frac{1}{3}(36) = 12$。よって、点 B の座標は $(6, 12)$。

次に、直線 AB の式を $y = mx + b$ とおく。点 A と点 B の座標を代入すると、

$3 = -3m + b$

$12 = 6m + b$

この連立方程式を解く。2 式を引き算すると、

$9 = 9m$

$m = 1$

これを $3 = -3m + b$ に代入すると、

$3 = -3(1) + b$

$b = 6$

したがって、直線 AB の式は $y = x + 6$。

(2)

$\triangle OAB$ の面積を求める。直線 AB の式が $y = x + 6$ なので、点 C の座標は $(0, 6)$。

$\triangle OAB$ の面積は、点 A, B の x 座標より、$AB = \sqrt{(6-(-3))^2 + (12-3)^2}=\sqrt{9^2+9^2} = \sqrt{2\times 9^2} = 9\sqrt{2}$。高さは原点からの距離となる。

$\triangle OAB$ の面積を求める別の方法として、座標を用いる方法がある。

点 A $(-3, 3)$, B $(6, 12)$, O $(0, 0)$ を用いて、

$\triangle OAB = \frac{1}{2} | (-3)(12) - (3)(6) | = \frac{1}{2} | -36 - 18 | = \frac{1}{2} | -54 | = 27$

(3)

$\triangle OCP$ の面積と $\triangle OAB$ の面積の比が $2:5$ なので、$\triangle OCP$ の面積は $\frac{2}{5} \times 27 = \frac{54}{5}$。

点 P の座標を $(t, \frac{1}{3}t^2)$ とおく。ただし、$-3 < t < 6$。

$\triangle OCP$ の面積は $\frac{1}{2} \times OC \times |t| = \frac{1}{2} \times 6 \times |t| = 3|t|$。

したがって、$3|t| = \frac{54}{5}$

$|t| = \frac{18}{5} = 3.6$

$-3 < t < 6$ より、$t = \pm \frac{18}{5}$。したがって、$t = \frac{18}{5}$。

点 P の $y$ 座標は $\frac{1}{3} (\frac{18}{5})^2 = \frac{1}{3} \times \frac{324}{25} = \frac{108}{25}$。

点 P の座標は $(\frac{18}{5}, \frac{108}{25})$。

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 6$

(2) 27

(3) $(\frac{18}{5}, \frac{108}{25})$