問題は2つあります。 (1) 道路標識の7%の勾配について、水平距離100mに対して7mの割合で高くなる坂があるとき、坂の傾斜角$\angle DCP$の大きさを表す不等式$n^\circ < \angle DCP < n^\circ + 1^\circ$を満たす整数$n$を求める。また、$\angle DCP$のおおよその値を求める。 (2) 電柱の影が坂に沿って伸びている状況で、$BC=7$m, $CD=4$m, $\angle APB = 45^\circ$のとき、$BE$と$DE$の長さを求め、電柱の高さ$AB$を小数第2位で四捨五入して求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 道路標識の7%の勾配について、水平距離100mに対して7mの割合で高くなる坂があるとき、坂の傾斜角$\angle DCP$の大きさを表す不等式$n^\circ < \angle DCP < n^\circ + 1^\circ$を満たす整数$n$を求める。また、$\angle DCP$のおおよその値を求める。

(2) 電柱の影が坂に沿って伸びている状況で、$BC=7$m, $CD=4$m, $\angle APB = 45^\circ$のとき、$BE$と$DE$の長さを求め、電柱の高さ$AB$を小数第2位で四捨五入して求める。

2. 解き方の手順

(1)

7%の勾配は、$\tan(\angle DCP) = \frac{7}{100} = 0.07$ で表される。

$\arctan(0.07)$を計算する。電卓や計算機を使うと、$\arctan(0.07) \approx 4.004^\circ$となる。

したがって、$n^\circ < \angle DCP < n^\circ + 1^\circ$ を満たす $n$ は 4 である。

$\angle DCP$ のおおよその値は $4^\circ$である。

(2)

$\angle APB = 45^\circ$ より、$\triangle ABP$ は直角二等辺三角形であるから、$AB = BP$である。

$BC = 7$m, $CD = 4$m なので、$BD = BC + CD = 7 + 4 = 11$m である。

$BP = BE + EP$ である。$\triangle DEP$ は直角三角形である。

$DE = AB - AE = AB - BD \cos(\angle B)$ となる。

$\triangle ABP$で，$AB=BP$なので，$\angle BAP = 45^\circ$

$BE = BC \cos(\angle B)$となる

まず、$tan\angle B = 0.07$より，$\cos \angle B \approx 0.9975$なので

$BE = 7 \times \cos(\angle B) \approx 7 \times 0.9975 \approx 6.9825 \approx 7$である．

$\angle DCP$ はほぼ4度なので、$DE \approx CD \sin(4^\circ)$

$DE = CD \sin(\angle DCP) = 4 \sin(\angle DCP) \approx 4 \times 0.07 = 0.28$

よって、$DE = 0.28$ m

$AB = BE + DE = 7+4*\frac{7}{100} = 7+0.28 = 7.28$

したがって、$AB = 7.28 m$

3. 最終的な答え

(1)

$n$ の値は 4 である。

$\angle DCP$ の大きさは、ちょうど $4^\circ$ であるとする。

(2)

$BE = 7$ m

$DE = 0.28$ m

電柱の高さは、小数第2位で四捨五入すると $7.3$ mであることがわかる。