問題は、一辺が8cmの立方体ABCDEFGHから作られた四角錐DEFGHに関する以下の2つの問いに答えるものです。 (2) 四角錐DEFGHの体積を求める。 (3) 点Eから辺DF上の点を通り点Gまで紐をかけるとき、紐の長さが最も短くなるときの長さを求める。ただし、DE = $8\sqrt{2}$ cm、DF = $8\sqrt{3}$ cmとする。

1. 問題の内容

問題は、一辺が8cmの立方体ABCDEFGHから作られた四角錐DEFGHに関する以下の2つの問いに答えるものです。

(2) 四角錐DEFGHの体積を求める。

(3) 点Eから辺DF上の点を通り点Gまで紐をかけるとき、紐の長さが最も短くなるときの長さを求める。ただし、DE = $8\sqrt{2}$ cm、DF = $8\sqrt{3}$ cmとする。

2. 解き方の手順

(2) 四角錐DEFGHの体積を求める

四角錐DEFGHは、底面を三角形EFG、高さをDHとする三角錐と考えることができます。

三角形EFGは、一辺が8cmの正方形EFGHの半分なので、面積は

$8 \times 8 \div 2 = 32$ cm$^2$

高さDHは立方体の一辺なので、8cm

したがって、四角錐DEFGHの体積は

$32 \times 8 \div 3 = \frac{256}{3}$ cm$^3$

(3) 紐の長さが最も短くなるときの長さを求める

点Eから辺DF上の点を通り点Gまで紐をかけるとき、紐の長さが最も短くなるのは、四角錐DEFGHの展開図上でEとGを結ぶ線分が紐の経路となるときです。

三角形DEFにおいて、DE = $8\sqrt{2}$、DF = $8\sqrt{3}$、EF = $8\sqrt{2}$ より、三角形DEFは二等辺三角形。

また、三角形DFGにおいて、DF = $8\sqrt{3}$、FG = $8\sqrt{2}$、DG = $8\sqrt{2}$ より、三角形DFGも二等辺三角形。

これらの三角形を線分DFで貼り合わせた展開図において、EとGを結ぶ線分の長さを求める。

三角形DEFと三角形DFGを合わせた四角形DEGFを考える。点Dから辺EFにおろした垂線の足をIとする。DIは立方体の面を対角線で二等分するので、∠EDI = 45°。従って、∠EDF=∠GDFであるから、∠EDG = 90°である。

三角形EDGにおいて、ED = $8\sqrt{2}$, DG = $8\sqrt{2}$であるから、EG = $\sqrt{(8\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2} = \sqrt{128 + 128} = \sqrt{256} = 16$ cm

3. 最終的な答え

(2) 四角錐DEFGHの体積：$\frac{256}{3}$ cm$^3$

(3) 紐の長さが最も短くなるときの長さ：16 cm