問題は、ベクトルに関する穴埋め問題です。与えられた条件から、ベクトル$\vec{AR}$を2通りの方法で表現し、それらからいくつかの値を求め、最終的に三角形ADRの面積とベクトルの内積、ベクトルの絶対値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、ベクトルに関する穴埋め問題です。与えられた条件から、ベクトル$\vec{AR}$を2通りの方法で表現し、それらからいくつかの値を求め、最終的に三角形ADRの面積とベクトルの内積、ベクトルの絶対値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、問題文の条件から$\vec{AG}$、$\vec{AD}$をそれぞれ$\vec{a}$、$\vec{b}$を使って表します。

$\vec{AG} = \vec{AD} + \vec{DG} = \vec{AD} + \vec{AC} = \vec{b} + 4\vec{a}$

$\vec{DE} = \vec{AE} - \vec{AD} = 5\vec{a} - \vec{b}$

(1) より、$\vec{AR} = k\vec{AG}$ なので、

$\vec{AR} = k(4\vec{a} + \vec{b}) = 4k\vec{a} + k\vec{b}$

したがって、

$\vec{AR} = \frac{4k}{1}\vec{a} + \frac{k}{1}\vec{b}$

ゆえに、ケ=4, コ=1, サ=1, シ=1

(2) より、$\vec{AR} = \vec{AD} + t\vec{DE}$ なので、

$\vec{AR} = \vec{b} + t(5\vec{a} - \vec{b}) = 5t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

したがって、

$\vec{AR} = (5t)\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

ゆえに、ス=5, セ=1

(1), (2) より、$\vec{a}, \vec{b}$は一次独立なので、

$4k = 5t$

$k = 1 - t$

上の二つの式から、$k$と$t$を求めます。

$4(1-t) = 5t$

$4 - 4t = 5t$

$4 = 9t$

$t = \frac{4}{9}$

$k = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

ゆえに、ソ=5, タ=9, チ=9, ツ=4, テ=9

$\vec{AR} = \frac{5}{9}(4\vec{a} + \vec{b}) = \frac{20}{9}\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{b}$

$\vec{AD} = \vec{b}$

$\vec{DR} = \vec{AR} - \vec{AD} = \frac{20}{9}\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{b} - \vec{b} = \frac{20}{9}\vec{a} - \frac{4}{9}\vec{b}$

三角形ADRの面積は、$\frac{1}{2}|\vec{AD}||\vec{DR}|\sin{\theta}$ で表される。

または、 $\frac{1}{2}|\vec{AD} \times \vec{DR}|$　で表される。

$\vec{AD} \times \vec{DR} = \vec{b} \times (\frac{20}{9}\vec{a} - \frac{4}{9}\vec{b}) = \frac{20}{9} (\vec{b} \times \vec{a}) - \frac{4}{9} (\vec{b} \times \vec{b}) = -\frac{20}{9}(\vec{a} \times \vec{b})$

$|\vec{AD} \times \vec{DR}| = \frac{20}{9}|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{20}{9}|\vec{a}||\vec{b}|\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{20}{9} \times 3 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

三角形ADRの面積 = $\frac{1}{2}|\vec{AD} \times \vec{DR}| = \frac{1}{2} \times \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{75}}{3}$

ゆえに、ト=75, ナ=3

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos{\frac{\pi}{3}} = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

ゆえに、ニ=3, ヌ=2, ネ=2

$|\vec{AR}|^2 = |\frac{20}{9}\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{b}|^2 = (\frac{20}{9}\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{b}) \cdot (\frac{20}{9}\vec{a} + \frac{5}{9}\vec{b}) = (\frac{20}{9})^2 |\vec{a}|^2 + 2\frac{20}{9}\frac{5}{9}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\frac{5}{9})^2|\vec{b}|^2$

$= (\frac{400}{81}) \times 9 + 2 \times \frac{100}{81} \times \frac{3}{2} + \frac{25}{81} \times 1 = \frac{3600}{81} + \frac{300}{81} + \frac{25}{81} = \frac{3925}{81} = \frac{3925/25}{81/9} = \frac{157}{9}$

$|\vec{AR}| = \sqrt{\frac{157}{9}} = \frac{\sqrt{157}}{3}$

ゆえに、ノ=1, ハ=5, ヒ=7, フ=3

3. 最終的な答え

$\vec{AR} = \frac{4}{1}k\vec{a} + \frac{1}{1}k\vec{b}$

$\vec{AR} = (5t)\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$k = \frac{5}{9}$

$t = \frac{4}{9}$

三角形ADRの面積 = $\frac{\sqrt{75}}{3}$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{3}{2}$

$|\vec{AR}| = \frac{\sqrt{157}}{3}$