カメラの画角に関する問題です。カメラの位置をO、被写体の位置をMとし、$OM = 1m$、$∠AOM = 75°$、$∠BOM = 60°$という条件が与えられています。 (1) $\frac{1}{\tan 15°}$ の値を求める問題。 (2) $OA = t$とするとき、三角形ABOの面積を$t$を用いて表す問題。 (3) 三角形ABOの面積を利用して、$\frac{AM}{BM}$を求める問題。 ただし、$sin 15° = 0.25$が与えられています。

1. 問題の内容

カメラの画角に関する問題です。カメラの位置をO、被写体の位置をMとし、$OM = 1m$、$∠AOM = 75°$、$∠BOM = 60°$という条件が与えられています。

(1) $\frac{1}{\tan 15°}$ の値を求める問題。

(2) $OA = t$とするとき、三角形ABOの面積を$t$を用いて表す問題。

(3) 三角形ABOの面積を利用して、$\frac{AM}{BM}$を求める問題。

ただし、$sin 15° = 0.25$が与えられています。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\tan 15°}$ の値を求める

まず、$tan 15°$ の値を求めます。

$tan 15° = \frac{sin 15°}{cos 15°}$

$sin 15° = 0.25 = \frac{1}{4}$

$cos^2 15° = 1 - sin^2 15° = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$cos 15° = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$tan 15° = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$

$\frac{1}{\tan 15°} = \sqrt{15}$

(2) 三角形ABOの面積をtで表す

三角形ABOの面積は $\frac{1}{2} \times AO \times BO \times \sin(∠AOB)$ で求められます。

$AO = t$

$∠AOB = ∠AOM - ∠BOM = 75° - 60° = 15°$

$OM = 1$

$\frac{BO}{OM} = \frac{\sin 75°}{\sin ∠ABO}$

$\frac{AO}{OM} = \frac{\sin 60°}{\sin ∠BAO}$

$\frac{BO}{sin(75)} = \frac{AO}{sin(60)}$

$\frac{BO}{\sin(75)} = \frac{t}{sin(60)}$

$BO = t*\frac{\sin(75)}{sin(60)}$

$sin(75) = sin(45+30) = sin(45)cos(30) + cos(45)sin(30) = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$sin(60) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BO = t \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = t \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = t\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}$

三角形ABOの面積Sは、

$S = \frac{1}{2}AO \times BO \times sin(15)$

$S = \frac{1}{2} t \times t \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{4}$

$S = \frac{t^2(\sqrt{2}+1)}{8\sqrt{3}}$

(3) 三角形ABOの面積を利用してAM/BMを求める

$AM = AO - OM = t-1$

$BM = \sqrt{OM^2 + OB^2 - 2 OM \times OB \cos 60} = OB = \sqrt{OB^2 + 1 - OB}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{15}$ (ア)

(2) $\frac{t^2(\sqrt{2}+1)}{8\sqrt{3}}$

(3)解けませんでした。