直線 $y=x+5$ と傾き -2 の直線 $m$ が点 A(1,6) で交わっています。直線 $y=x+5$ と直線 $m$ が x 軸と交わる点をそれぞれ B, C とします。線分 AC の中点を M とします。このとき、以下の問いに答えます。 (1) 直線 $m$ の式を求めなさい。 (2) 点 B, C の座標をそれぞれ求めなさい。 (3) $\triangle ABC$ と $\triangle AOM$ の面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。 (4) 四角形 AOMN が平行四辺形になるような点 N をとるとき、N の座標を求めなさい。 (5) C を通り、$\triangle ABC$ の面積を2等分する直線の式を求めなさい。

1. 問題の内容

直線 $y=x+5$ と傾き -2 の直線 $m$ が点 A(1,6) で交わっています。直線 $y=x+5$ と直線 $m$ が x 軸と交わる点をそれぞれ B, C とします。線分 AC の中点を M とします。このとき、以下の問いに答えます。

(1) 直線 $m$ の式を求めなさい。

(2) 点 B, C の座標をそれぞれ求めなさい。

(3) $\triangle ABC$ と $\triangle AOM$ の面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(4) 四角形 AOMN が平行四辺形になるような点 N をとるとき、N の座標を求めなさい。

(5) C を通り、$\triangle ABC$ の面積を2等分する直線の式を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $m$ の式を求める。

直線 $m$ は傾きが -2 で、点 A(1,6) を通るので、式は $y = -2x + b$ と書けます。点 A の座標を代入すると、$6 = -2(1) + b$ より、$b = 8$ となります。

したがって、直線 $m$ の式は $y = -2x + 8$ です。

(2) 点 B, C の座標をそれぞれ求める。

点 B は直線 $y=x+5$ と x 軸の交点なので、$y=0$ を代入すると、$0 = x+5$ より、$x = -5$ となります。したがって、B の座標は $(-5, 0)$ です。

点 C は直線 $y=-2x+8$ と x 軸の交点なので、$y=0$ を代入すると、$0 = -2x+8$ より、$x = 4$ となります。したがって、C の座標は $(4, 0)$ です。

(3) $\triangle ABC$ と $\triangle AOM$ の面積比を求める。

A(1,6), B(-5,0), C(4,0) なので、三角形 ABC の底辺を BC とすると、BC の長さは $4 - (-5) = 9$ です。高さは A の y 座標なので 6 です。したがって、$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$ です。

M は AC の中点なので、座標は $(\frac{1+4}{2}, \frac{6+0}{2}) = (\frac{5}{2}, 3)$ です。

$\triangle AOM$ の底辺を OM とすると、OM の長さは $\frac{5}{2}$ です。高さは A の y 座標なので 6 です。したがって、$\triangle AOM$ の面積は $\frac{1}{2} |1(0-3) + \frac{5}{2}(3-6) + 0(6-0)| = \frac{1}{2}|-3-\frac{15}{2}| = \frac{21}{4}$. 底辺をOMとしたとき、高さは点Aのx座標なので1.面積は1/2*3*1 =3/

2. 間違っている。

$\triangle AOM$の底辺をOCとすると、底辺は4.高さはMのy座標なので3.面積は

6. $\triangle AOM$の底辺をOMとする.O(0,0) M(5/2,3) A(1,6). 面積 = $\frac{1}{2} |0(3-6)+5/2(6-0)+1(0-3)|$ = $\frac{1}{2} |0+15-3|$ = 6

$\triangle AOM$の面積は6なので、面積比は $27:6 = 9:2$ です。

(4) 四角形 AOMN が平行四辺形になるような点 N の座標を求める。

AOMN が平行四辺形になるためには、$\vec{AO} = \vec{MN}$ となる必要があります。$\vec{AO} = (0-1, 0-6) = (-1, -6)$ です。

M(5/2, 3) なので、N(x,y)とすると、

$\vec{MN} = (x-\frac{5}{2}, y-3)$ となります。

したがって、

$x-\frac{5}{2} = -1$ より、$x = \frac{3}{2}$

$y-3 = -6$ より、$y = -3$

したがって、N の座標は $(\frac{3}{2}, -3)$ です。

(5) C を通り、$\triangle ABC$ の面積を2等分する直線の式を求める。

$\triangle ABC$ の面積を二等分する直線は、線分 AB の中点を通ります。

AB の中点を P とすると、P の座標は $(\frac{1+(-5)}{2}, \frac{6+0}{2}) = (-2, 3)$ です。

C(4,0) を通り、P(-2,3) を通る直線の式を求めます。

傾きは $\frac{3-0}{-2-4} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$ です。

$y = -\frac{1}{2}x + b$ に C(4,0) を代入すると、$0 = -\frac{1}{2}(4) + b$ より、$b = 2$ となります。

したがって、求める直線の式は $y = -\frac{1}{2}x + 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x + 8$

(2) B: $(-5, 0)$, C: $(4, 0)$

(3) 9:2

(4) $(\frac{3}{2}, -3)$

(5) $y = -\frac{1}{2}x + 2$