(1) 図1において、$\angle DAB = \angle EBA$ であることを証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。 (2) 図1において、線分AEと線分BDの交点をFとするとき、$\angle AFD$ の大きさを求める問題です。 (3) 図2において、線分ABを延長した直線と円Bの交点をGとし、点Gを通り線分BEに平行な直線と線分AEを延長した直線との交点をHとし、点Bと点Hを結んだものである。このとき、$\triangle ABH$ の面積は $\triangle ABD$ の面積の何倍か求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 図1において、$\angle DAB = \angle EBA$ であることを証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。

(2) 図1において、線分AEと線分BDの交点をFとするとき、$\angle AFD$ の大きさを求める問題です。

(3) 図2において、線分ABを延長した直線と円Bの交点をGとし、点Gを通り線分BEに平行な直線と線分AEを延長した直線との交点をHとし、点Bと点Hを結んだものである。このとき、$\triangle ABH$ の面積は $\triangle ABD$ の面積の何倍か求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

円Aにおいて, $\angle ADB = 90^\circ$より, $\angle DAB + \angle DBA = 90^\circ$ である。

同様に, 円Bにおいて, $\angle BEA = 90^\circ$より, $\angle EBA + \angle EAB = 90^\circ$ である。

ここで、$\triangle ABC$について考えると、円Aと円Bは点Cで接しているので、AC=BC。よって、$\triangle ABC$は二等辺三角形である。

したがって、$\angle CAB = \angle CBA$。

$\angle DAB = \angle CAB - \angle CAD$, $\angle EBA = \angle CBA - \angle CBE$なので、$\angle CAD=\angle CBE$が分かればよい。

$\angle CAD$は弧CDに対する円周角であり、$\angle CBE$は弧CEに対する円周角である。

同じ円において、弧CD = 弧CEより, $\angle CAD = \angle CBE$である。

よって、$\angle DAB = \angle EBA$が成り立つ。

(2)

$\angle ADB = 90^\circ$ , $\angle BEA = 90^\circ$であり、$\angle AFD$について考える。

$\angle DAF + \angle ADF = 90^\circ$

$\angle AFD = \angle DAF + \angle ADF = 90^\circ$.

$\angle DAB=\angle EBA$とする。 $\angle ADB=\angle BEA=90$度より

$\angle ABD = \angle BAE$　

$\angle AFD = 180^\circ - (\angle FAD + \angle ADF)$　

$\angle AFD = 180^\circ - (\angle DAE + \angle EAF +\angle ADB- \angle FDB)$

$\angle AFD = 180^\circ - (\angle DAE + \angle BDA)$

ここで、問題文に$\angle ADB = \angle BEA = 90^\circ$

また$\angle ACB=30^\circ$の記載がある。

$\angle CAB = \angle CBA = (180-30)/2=75^\circ$

$\angle AFD$を求めるために、$\angle AEB$を求める。$\angle AEB=90^\circ$である。

四角形ADBEについて、

$\angle DAB+\angle DBA+\angle ADB+\angle AEB=360^\circ$

$\angle DAB+\angle DBA=360-90-90=180^\circ$

$\angle AEB=90^\circ$より、$\angle AEF = 90^\circ$

$\angle AFB = \angle EFD$なので, $\angle AEB=360^\circ$

$\angle AFD=90^\circ+\angle CAD$

$\angle CAD+\angle CBE$

$\angle CAD=180-90=90/2=45^\circ$

$\angle AEB = 90^\circ$より弧ABに対する円周角

$\angle AFD$

(3)

これは難易度が高いです。

3. 最終的な答え

(1) $\angle CAB$, $\angle CBA$, 弧CD = 弧CE, $\angle CBE$

(2) $90^\circ$

(3) 解答できません