問題は2つあります。 (2) 図1において、線分AEと線分BDの交点をFとするとき、$\angle AFD$の大きさを求めよ。 (3) 図2において、線分ABを延長した直線と円Bの交点をGとし、点Gを通り線分BEに平行な直線と線分AEを延長した直線との交点をHとし、点Bと点Hを結んだものである。このとき、$\triangle ABH$の面積は、$\triangle ABD$の面積の何倍か求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(2) 図1において、線分AEと線分BDの交点をFとするとき、$\angle AFD$の大きさを求めよ。

(3) 図2において、線分ABを延長した直線と円Bの交点をGとし、点Gを通り線分BEに平行な直線と線分AEを延長した直線との交点をHとし、点Bと点Hを結んだものである。このとき、$\triangle ABH$の面積は、$\triangle ABD$の面積の何倍か求めよ。

2. 解き方の手順

(2) $\angle AFD$ の大きさを求める。

図から、$\angle DAE = 60^\circ$、$\angle ADB = 60^\circ$ と推測できます。

$\triangle ABD$において、$AD=BD$なので、$\triangle ABD$は二等辺三角形です。また、$\angle ADB = 60^\circ$なので、$\triangle ABD$は正三角形です。

同様に、$\triangle ABE$も正三角形なので、$AE=BE$で、$\angle AEB = 60^\circ$となります。

したがって、$\angle DAE = \angle ABE = 60^\circ$となります。

$\angle AFD$は、$\triangle ABF$の外角であるので、$\angle AFD = \angle FAB + \angle ABF$です。

$\angle FAB = \angle DAB - \angle DAF = 60^\circ - \angle DAF$です。

$\angle ABF = \angle ABE - \angle EBF = 60^\circ - \angle EBF$です。

$\angle AFD = \angle FAB + \angle ABF = 60^\circ - \angle DAF + 60^\circ - \angle EBF = 120^\circ - (\angle DAF + \angle EBF)$です。

$\angle AFD = 180 - \angle FAD - \angle ADF = 180 - \angle FAB - \angle DBA - \angle FBD$

$\angle AFD = \angle ADF + \angle DAF = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$

(3) $\triangle ABH$の面積が$\triangle ABD$の面積の何倍かを求める。

$BG$は円Bの直径です。$GH \parallel BE$なので、$\triangle ABE \sim \triangle AHG$です。

$\triangle ABD$の面積を$S$とします。

$AC=CB=BG$であることから、$AG = 3AB$であることがわかります。

$\triangle ABE$と$\triangle AHG$の相似比は、$AB:AG = AB:3AB = 1:3$です。

$\triangle ABE$の面積は、$S$に等しいです。（正三角形なので）

$\triangle AHG$の面積は、$\triangle ABE$の面積の$3^2 = 9$倍なので、$9S$です。

$BE \parallel GH$なので、$\triangle ABE \sim \triangle AHG$で、$AB:AG=1:3$なので、$AE:AH = 1:3$です。

$AE = AD$なので、$AD:AH = 1:3$です。したがって、$AH = 3AD$です。

$\triangle ABD$と$\triangle ABH$の面積比は、高さの比に等しいです。

高さの比は、$AD:AH = 1:3$なので、$\triangle ABH$の面積は、$\triangle ABD$の面積の3倍です。

3. 最終的な答え

(2) $\angle AFD = 60^\circ$

(3) $\triangle ABH$の面積は$\triangle ABD$の面積の3倍