放物線 $y = x^2$ 上に点A, B, Cがあり、それぞれの $x$ 座標は-1, 2, -3である。直線ABは $y = ax + b$ で表される。 (1) 直線ABの式を求め ($a$ と $b$ の値を求める)。 (2) $y$ 軸上に点Pを取り、三角形ABCと三角形ABPの面積が等しくなるようにする。ただし、Pの $y$ 座標は正である。点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上に点A, B, Cがあり、それぞれの $x$ 座標は-1, 2, -3である。直線ABは $y = ax + b$ で表される。

(1) 直線ABの式を求め ($a$ と $b$ の値を求める)。

(2) $y$ 軸上に点Pを取り、三角形ABCと三角形ABPの面積が等しくなるようにする。ただし、Pの $y$ 座標は正である。点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点A, Bは放物線 $y = x^2$ 上の点なので、それぞれの座標はA(-1, 1), B(2, 4)である。

これらの点を直線 $y = ax + b$ に代入して連立方程式を解く。

A(-1, 1): $1 = -a + b$

B(2, 4): $4 = 2a + b$

この連立方程式を解く。

$4 = 2a + b$

$1 = -a + b$

上の式から下の式を引くと、

$3 = 3a$

$a = 1$

これを $1 = -a + b$ に代入すると、

$1 = -1 + b$

$b = 2$

したがって、直線ABの式は $y = x + 2$ である。

(2)

点Cの座標はC(-3, 9)である。

三角形ABCと三角形ABPの面積が等しいということは、ABを底辺としたときの高さが等しいということである。

三角形ABCの面積を求める。ベクトルを用いて考えると、ABとACをベクトルで表し、外積を計算することで面積を求める。

$\vec{AB} = (2 - (-1), 4 - 1) = (3, 3)$

$\vec{AC} = (-3 - (-1), 9 - 1) = (-2, 8)$

三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} |3 \cdot 8 - 3 \cdot (-2)| = \frac{1}{2} |24 + 6| = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$

点Pの座標を(0, $p$)とする。

三角形ABPの面積は15である。

$\vec{AB} = (3, 3)$

$\vec{AP} = (0 - (-1), p - 1) = (1, p-1)$

三角形ABPの面積は $\frac{1}{2} |3 \cdot (p-1) - 3 \cdot 1| = \frac{1}{2} |3p - 3 - 3| = \frac{1}{2} |3p - 6|$

したがって、$\frac{1}{2} |3p - 6| = 15$

$|3p - 6| = 30$

$3p - 6 = 30$ または $3p - 6 = -30$

$3p = 36$ または $3p = -24$

$p = 12$ または $p = -8$

ただし、$p > 0$なので、$p = 12$

したがって、点Pの座標は(0, 12)である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = 2$

(2) (0, 12)