(1) 原点Oを通り、三角形AOBの面積を2等分する直線の式を求める。ただし、Aのx座標は-9、Bのx座標は3であり、放物線の式は$y=\frac{1}{3}x^2$である。 (2) 点Bを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める。ただし、Aのx座標は-4、Bのx座標は-2、Cのx座標は8であり、放物線の式は$y=\frac{1}{4}x^2$である。

1. 問題の内容

(1) 原点Oを通り、三角形AOBの面積を2等分する直線の式を求める。ただし、Aのx座標は-9、Bのx座標は3であり、放物線の式は$y=\frac{1}{3}x^2$である。

(2) 点Bを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める。ただし、Aのx座標は-4、Bのx座標は-2、Cのx座標は8であり、放物線の式は$y=\frac{1}{4}x^2$である。

2. 解き方の手順

(1)

三角形AOBの面積を2等分する直線は、線分ABの中点を通る。

点Aの座標は、x=-9のとき、$y=\frac{1}{3}(-9)^2 = 27$より、(-9, 27)である。

点Bの座標は、x=3のとき、$y=\frac{1}{3}(3)^2 = 3$より、(3, 3)である。

線分ABの中点の座標を(x, y)とすると、

$x = \frac{-9+3}{2} = -3$

$y = \frac{27+3}{2} = 15$

中点の座標は(-3, 15)である。

原点(0, 0)と中点(-3, 15)を通る直線の傾きは、$m = \frac{15-0}{-3-0} = -5$

よって、求める直線の式は、$y = -5x$となる。

(2)

点Bを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線は、線分ACの中点を通る。

点Aの座標は、x=-4のとき、$y=\frac{1}{4}(-4)^2 = 4$より、(-4, 4)である。

点Cの座標は、x=8のとき、$y=\frac{1}{4}(8)^2 = 16$より、(8, 16)である。

線分ACの中点の座標を(x, y)とすると、

$x = \frac{-4+8}{2} = 2$

$y = \frac{4+16}{2} = 10$

中点の座標は(2, 10)である。

点B(-2, 1)と中点(2, 10)を通る直線の傾きは、$m = \frac{10-1}{2-(-2)} = \frac{9}{4}$

求める直線の式を$y = \frac{9}{4}x + b$とおき、点B(-2, 1)を通ることから、

$1 = \frac{9}{4}(-2) + b$

$1 = -\frac{9}{2} + b$

$b = 1 + \frac{9}{2} = \frac{11}{2}$

よって、求める直線の式は、$y = \frac{9}{4}x + \frac{11}{2}$となる。

3. 最終的な答え

(1) $y = -5x$

(2) $y = \frac{9}{4}x + \frac{11}{2}$