平面上に4点O, A, B, Cがある。 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ $|\overrightarrow{OA}| = 2, |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$ このとき、内積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に4点O, A, B, Cがある。

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$

$|\overrightarrow{OA}| = 2, |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$

このとき、内積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$を求めよ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OC} = -(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$と表せる。

$|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}|$より、$|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|$

両辺を2乗して、$|\overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OB}|^2$

よって、$|\overrightarrow{OB}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + |\overrightarrow{OB}|^2$

$0 = |\overrightarrow{OA}|^2 + 2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$

$2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -|\overrightarrow{OA}|^2$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|^2$

$|\overrightarrow{OA}| = 2$を代入して、

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -\frac{1}{2} \times 2^2 = -\frac{1}{2} \times 4 = -2$

3. 最終的な答え

-2