問題は、関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に点A, B, Cがあり、それぞれのx座標が-4, -2, 4であるという設定のもと、以下の3つの問いに答えるものです。 (1) 直線ACの式を求めなさい。 (2) 曲線①において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 2$ のときの $y$ の変域を求めなさい。 (3) $\triangle ABC$ と $\triangle ABP$ の面積が等しくなるように、$y$ 軸上の正の部分に点Pをとるとき、点Pの座標を求めなさい。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に点A, B, Cがあり、それぞれのx座標が-4, -2, 4であるという設定のもと、以下の3つの問いに答えるものです。

(1) 直線ACの式を求めなさい。

(2) 曲線①において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 2$ のときの $y$ の変域を求めなさい。

(3) $\triangle ABC$ と $\triangle ABP$ の面積が等しくなるように、$y$ 軸上の正の部分に点Pをとるとき、点Pの座標を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 直線ACの式を求める。

点Aの座標は、$x = -4$ を $y = \frac{1}{2}x^2$ に代入して、 $y = \frac{1}{2}(-4)^2 = 8$ なので、A(-4, 8)です。

点Cの座標は、$x = 4$ を $y = \frac{1}{2}x^2$ に代入して、$y = \frac{1}{2}(4)^2 = 8$ なので、C(4, 8)です。

直線ACの傾きをmとすると、

$m = \frac{8 - 0}{-4 - 4} = \frac{8}{-8} = -1$

したがって直線ACの式は、$y = -x + b$ と表せます。

この直線は点C(4, 0)を通るので、

$0 = -4 + b$

$b = 4$

したがって、直線ACの式は、$y = -x + 4$ です。

(2) 曲線①において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 2$ のときの $y$ の変域を求める。

$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフは下に凸の放物線なので、$x$ の変域が $-4 \le x \le 2$ のとき、最小値は $x = 0$ のときの $y = 0$ です。

最大値は、$x = -4$ のときの $y = 8$ です。

したがって、$y$ の変域は $0 \le y \le 8$ です。

(3) $\triangle ABC$ と $\triangle ABP$ の面積が等しくなるように、$y$ 軸上の正の部分に点Pをとるとき、点Pの座標を求める。

点Bの座標は、$x = -2$ を $y = \frac{1}{2}x^2$ に代入して、$y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$ なので、B(-2, 2)です。

$\triangle ABC$ の面積を求める。

点Bから直線ACに下ろした垂線の長さをhとする。

直線ACの式は、$x + y - 4 = 0$ なので、点B(-2, 2)から直線ACまでの距離hは、

$h = \frac{|-2 + 2 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

ACの長さは、$\sqrt{(-4-4)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$

したがって、$\triangle ABC$ の面積は、$\frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 16$ です。

次に、$\triangle ABP$ の面積を求める。点Pの座標を(0, p)とする。ただし、$p > 0$。

直線ACの式は $y = -x + 4$

直線ACと点Bの距離 = $\frac{|-1 * (-2) + (-1) * 2 + (-4)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 2 - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$

$\triangle ABC$ と $\triangle ABP$ の面積が等しくなるので、$\triangle ABP = 16$

$AB = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

$AB = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

ACは底辺とみると、$\frac{1}{2} AC \times p = 16$

$\frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \times (8 - p) = 16$

$4\sqrt{2} (8-p) = 16$

$\sqrt{2} (8-p) = 4$

$8-p = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

$p = 8 - 2\sqrt{2}$

$\triangle ABC$ と $\triangle ABP$ の面積が等しくなるには、ABを共通の底辺とする。ABの長さを固定すると、点CからABまでの距離と点PからABまでの距離が等しいとき、面積が等しい。

平行線の性質を利用して、AC//BPになる点Pを求める。

傾きを求める。ACの傾きは-1。BPの傾きも-1になる。点B(-2, 2)を通るので、

$y = -x + b$

$2 = -(-2) + b$

$b = 0$

$y = -x$

点Pのx座標が0なので、$y = 0$。これはy軸上の正の部分という条件に反するので、平行線では無理。

面積が等しい＝底辺 x 高さ / 2 が同じ。

ABを底辺とすると、高さが等しい。

高さは、点C, PからABに下ろした垂線の長さになる。

ABの式は

$傾き： (8-2)/(-4 -(-2)) = 6/(-2) = -3$

$y = -3x + b$

$2 = -3*(-2) + b$

$b = 2 - 6 = -4$

$y = -3x - 4$

ABの式 = $3x + y + 4 = 0$

点C(4,0) と 点P(0, p) の距離が等しい。

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$\frac{|3*4 + 0 + 4|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|16|}{\sqrt{10}}$

$\frac{|0 + p + 4|}{\sqrt{10}} = \frac{|p+4|}{\sqrt{10}}$

$\frac{|16|}{\sqrt{10}} = \frac{|p+4|}{\sqrt{10}}$

$16 = |p+4|$

$p + 4 = 16, -16$

$p = 12, -20$

y軸の正の部分なので、$p = 12$

よってP(0, 12)

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + 4$

(2) $0 \le y \le 8$

(3) (0, 12)