直線 $y = x + 5$ と傾き $-2$ の直線 $m$ が点 $A(1, 6)$ で交わっています。直線 $y = x + 5$ と直線 $m$ が $x$ 軸と交わる点をそれぞれ $B$, $C$ とし、線分 $AC$ の中点を $M$ とします。 (1) 直線 $m$ の式を求めます。 (2) 点 $B, C$ の座標をそれぞれ求めます。 (3) $\triangle ABC$ と $\triangle AOM$ の面積比を最も簡単な整数の比で表します。

1. 問題の内容

直線 $y = x + 5$ と傾き $-2$ の直線 $m$ が点 $A(1, 6)$ で交わっています。直線 $y = x + 5$ と直線 $m$ が $x$ 軸と交わる点をそれぞれ $B$, $C$ とし、線分 $AC$ の中点を $M$ とします。

(1) 直線 $m$ の式を求めます。

(2) 点 $B, C$ の座標をそれぞれ求めます。

(3) $\triangle ABC$ と $\triangle AOM$ の面積比を最も簡単な整数の比で表します。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $m$ の式を求める。

直線 $m$ は傾きが $-2$ で、点 $A(1, 6)$ を通るので、$y = -2x + b$ に $A(1, 6)$ を代入すると、

$6 = -2(1) + b$

$b = 8$

したがって、直線 $m$ の式は $y = -2x + 8$ です。

(2) 点 $B, C$ の座標を求める。

点 $B$ は直線 $y = x + 5$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入すると、

$0 = x + 5$

$x = -5$

したがって、点 $B$ の座標は $(-5, 0)$ です。

点 $C$ は直線 $y = -2x + 8$ と $x$ 軸の交点なので、$y = 0$ を代入すると、

$0 = -2x + 8$

$2x = 8$

$x = 4$

したがって、点 $C$ の座標は $(4, 0)$ です。

(3) $\triangle ABC$ と $\triangle AOM$ の面積比を求める。

点 $M$ は線分 $AC$ の中点なので、$M = (\frac{1+4}{2}, \frac{6+0}{2}) = (\frac{5}{2}, 3)$ です。

$\triangle ABC$ の面積は、底辺を $BC$ とすると、高さは点 $A$ の $y$ 座標となります。$BC = 4 - (-5) = 9$ なので、

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$

$\triangle AOM$ の面積は、底辺を $OM$ とすると、高さは点 $A$ の $x$ 座標から点 $M$ の $x$ 座標を引いたものになります。$OM = \frac{5}{2}$ であり、$A$ の $x$ 座標と $M$ の $x$ 座標の差は $|1-\frac{5}{2}| = \frac{3}{2}$なので、高さは$\frac{3}{2}$です。

ただし、$x$軸に対して$A$と$M$が同じ側にあるので、高さを点 $A$ の $y$ 座標と点 $M$ の $y$ 座標の差と見做すと、底辺は線分 $OM$ で、高さは $3 - 0 = 3$となります。したがって、

$\triangle AOM = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times 3 = \frac{15}{4}$

$\triangle ABC : \triangle AOM = 27 : \frac{15}{4} = 108 : 15 = 36 : 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x + 8$

(2) $B(-5, 0), C(4, 0)$

(3) $36 : 5$