三角形ABDにおいて、BD:DC=7:8であることからBDの長さを求め、余弦定理を利用してADの長さを求める。AD=xとおき、xについての二次方程式を解くことでADの長さが2つ求まる。そのうちの1つは何か、もう1つは何を表しているかを考察する問題。

1. 問題の内容

三角形ABDにおいて、BD:DC=7:8であることからBDの長さを求め、余弦定理を利用してADの長さを求める。AD=xとおき、xについての二次方程式を解くことでADの長さが2つ求まる。そのうちの1つは何か、もう1つは何を表しているかを考察する問題。

2. 解き方の手順

まず、BD:DC=7:8より、BDの長さを求める。

全体の長さを$a$とすると、$BD = \frac{7}{7+8}a = \frac{7}{15}a$となるので、セソに7、タチに15が入る。

二次方程式$x^2 - (14 \cos{\angle BAD})x + 49 - BD^2 = 0$に、$BD = \frac{7}{15}a$と$\angle BAD = \frac{\angle BAD}{2}$を代入する、と書いてあるが、$BD$と$\angle BAD$は問題文中に与えられていないので、このままでは解けない。選択肢から考える。

ただし、$BD = \frac{7a}{15}$と、$AD$の長さを表す方程式$x^2 - (14\cos\angle BAD)x+49 - (\frac{7a}{15})^2=0$が与えられている。

選択肢を見ると、$\frac{7}{2}$、4、$\frac{13}{2}$、$\frac{19}{15}$、$\frac{56}{15}$、$\frac{64}{15}$、$\frac{91}{15}$、$\frac{104}{15}$がある。

図1を考察する。$H_1$はBからADに下ろした垂線の足、$E_1$は直線$BH_1$に関してDと対称な点である。このとき、$AD = AE_1$である。

3. 最終的な答え

セソ：7

タチ：15

ツ：AE1

テ：AE1