高さ150mのタワーTHを、観測地点Pから眺めているときの模式図が与えられている。以下の3つの問いに答える。 (1) PH=260mのとき、見上げる角度$\theta$に最も近いものを選択肢から選ぶ。 (2) PT=250mのとき、$\cos\theta$の値を求める。 (3) $\theta=25^\circ$のとき、PHの長さを求める。

1. 問題の内容

高さ150mのタワーTHを、観測地点Pから眺めているときの模式図が与えられている。以下の3つの問いに答える。

(1) PH=260mのとき、見上げる角度$\theta$に最も近いものを選択肢から選ぶ。

(2) PT=250mのとき、$\cos\theta$の値を求める。

(3) $\theta=25^\circ$のとき、PHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tan\theta = \frac{TH}{PH}$であるから、$\tan\theta = \frac{150}{260} = \frac{15}{26} \approx 0.577$。

選択肢の中で、$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$。

したがって、$\theta$に最も近いのは30°である。

(2) $\cos\theta = \frac{PH}{PT}$。

$PH = \sqrt{PT^2 - TH^2} = \sqrt{250^2 - 150^2} = \sqrt{62500 - 22500} = \sqrt{40000} = 200$。

したがって、$\cos\theta = \frac{200}{250} = \frac{4}{5} = 0.8$。

(3) $\tan\theta = \frac{TH}{PH}$であるから、$PH = \frac{TH}{\tan\theta} = \frac{TH}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{TH \cos\theta}{\sin\theta}$。

$\sin 25^\circ = 0.42$, $\cos 25^\circ = 0.9$を使用すると、

$PH = \frac{150 \times 0.9}{0.42} = \frac{135}{0.42} \approx 321.43$。

小数点以下を四捨五入すると、PH=321m。

3. 最終的な答え

(1) イ. 30°

(2) 0.8

(3) 321 m