太郎さんと花子さんが、三角形ABDに余弦定理を適用して得られた二次方程式を解き、ADの長さを求めようとしている。問題は、BDと∠BADの値を代入して得られる二次方程式の解の一つが$\frac{クケ}{コサ}$であるとき、もう一つの解が何を表しているか、および、図1における線分$\boxed{ツ}$の長さ、線分$\boxed{テ}$の長さを求める問題である。

1. 問題の内容

太郎さんと花子さんが、三角形ABDに余弦定理を適用して得られた二次方程式を解き、ADの長さを求めようとしている。問題は、BDと∠BADの値を代入して得られる二次方程式の解の一つが$\frac{クケ}{コサ}$であるとき、もう一つの解が何を表しているか、および、図1における線分$\boxed{ツ}$の長さ、線分$\boxed{テ}$の長さを求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、BDの長さを求める。BD:DC=7:8より、$BD = \frac{7}{8}DC$である。

次に、$x^2 - (14 \cos∠BAD)x + 49 - BD^2 = 0$という二次方程式に、BDと∠BADの値を代入する。

この二次方程式の解を求める。一つの解が$\frac{クケ}{コサ}$であるとき、もう一つの解が何を表しているかを考察する。

問題文から、図1を参照し、線分$\boxed{ツ}$と線分$\boxed{テ}$がどの線分を表しているかを判断する。

図1において、点H₁は点Bから直線ADに下ろした垂線の足であり、点H₂は点Cから直線ADに下ろした垂線の足である。点E₁は直線BH₁に関して点Dと対称な点であり、点E₂は直線CH₂に関して点Dと対称な点である。

3. 最終的な答え

BD = $\frac{7}{15}$ DC

線分$\boxed{ツ}$ は図1における線分AE₂の長さを表している

線分$\boxed{テ}$ はAE₂の長さを表している。