三角比に関する問題。直角三角形の辺の長さから三角比の値を求めたり、三角比の値から角度を求めたり、三角比の値から他の三角比の値を求める問題。

1. 問題の内容

三角比に関する問題。直角三角形の辺の長さから三角比の値を求めたり、三角比の値から角度を求めたり、三角比の値から他の三角比の値を求める問題。

2. 解き方の手順

[1]

直角三角形ABCにおいて、∠ABC = θとする。

まず、ACの長さを求める。三平方の定理より、

$AC = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = 1$

よって、

$sinθ = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{3}$

$cosθ = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$

$tanθ = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$

[2]

(1) $sin30° = \frac{1}{2}$

(2) $cos90° = 0$

[3]

(1) $cosθ = \frac{\sqrt{2}}{3}$ のとき、$sin^2θ + cos^2θ = 1$ より

$sin^2θ = 1 - cos^2θ = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

$sinθ = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

$tanθ = \frac{sinθ}{cosθ} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

(2) $tanθ = \frac{\sqrt{7}}{5}$ のとき、$cosθ = \frac{5}{\sqrt{5^2 + (\sqrt{7})^2}} = \frac{5}{\sqrt{25 + 7}} = \frac{5}{\sqrt{32}} = \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

[4]

(1) $cosθ = \frac{1}{2}$ のとき、θ = 60°

(2) $tanθ = -1$ のとき、θ = 135°

3. 最終的な答え

[1]

$sinθ = \frac{1}{3}$

$cosθ = \frac{2}{3}$

$tanθ = \frac{1}{2}$

[2]

(1) $sin30° = \frac{1}{2}$

(2) $cos90° = 0$

[3]

(1) $sinθ = \frac{\sqrt{7}}{3}$ $tanθ = \frac{\sqrt{14}}{2}$

(2) $cosθ = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

[4]

(1) θ = 60°

(2) θ = 135°