座標平面上に点$A(4, -\frac{4}{3})$と点$B(m, n)$がある。ただし、$m, n$は正の実数であり、$\vec{OA}$と$\vec{OB}$のなす角が45度であり、$\triangle OAB$の面積が$\frac{40}{3}$である。 (1) $|\vec{OA}|$, $|\vec{OB}|$, $m$, $n$を求めよ。 (2) $s, t$を実数とし、点$P$が$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}, 2s + 3t = 1$を満たしながら動くとき、$\vec{OA} = \vec{OC}, \vec{OB} = \vec{OD}$を満たす2点$C, D$をとると、点$P$の存在範囲は直線$CD$であり、その方程式を求める。また、点$A$から直線$OD$に垂線$AH$を下ろすとき、点$H$の座標を求める。$\triangle OAH$の面積を$S$, $\triangle OCD$の面積を$T$とすると、$\frac{S}{T}$を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点$A(4, -\frac{4}{3})$と点$B(m, n)$がある。ただし、$m, n$は正の実数であり、$\vec{OA}$と$\vec{OB}$のなす角が45度であり、$\triangle OAB$の面積が$\frac{40}{3}$である。

(1) $|\vec{OA}|$, $|\vec{OB}|$, $m$, $n$を求めよ。

(2) $s, t$を実数とし、点$P$が$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}, 2s + 3t = 1$を満たしながら動くとき、$\vec{OA} = \vec{OC}, \vec{OB} = \vec{OD}$を満たす2点$C, D$をとると、点$P$の存在範囲は直線$CD$であり、その方程式を求める。また、点$A$から直線$OD$に垂線$AH$を下ろすとき、点$H$の座標を求める。$\triangle OAH$の面積を$S$, $\triangle OCD$の面積を$T$とすると、$\frac{S}{T}$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、 $|\vec{OA}|$を計算する。

$|\vec{OA}| = \sqrt{4^2 + (-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144+16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$.

次に、$\triangle OAB$の面積を求める。$\triangle OAB = \frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OB}| \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{3} |\vec{OB}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{40}{3}$.

よって、$|\vec{OB}| = \frac{40}{3} \cdot \frac{3}{4\sqrt{10}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{20}} = \frac{20}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$.

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos 45^\circ = \frac{4\sqrt{10}}{3} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{10}}{3} \cdot \sqrt{10} = \frac{40}{3}$.

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 4m - \frac{4}{3}n = \frac{40}{3}$. よって、$4m - \frac{4}{3}n = \frac{40}{3}$, $12m - 4n = 40$, $3m - n = 10$, $n = 3m - 10$.

$|\vec{OB}|^2 = m^2 + n^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$.

$m^2 + (3m-10)^2 = 20$, $m^2 + 9m^2 - 60m + 100 = 20$, $10m^2 - 60m + 80 = 0$, $m^2 - 6m + 8 = 0$, $(m-2)(m-4) = 0$, $m = 2, 4$.

$m=2$のとき、$n = 3(2) - 10 = -4$ (不適)

$m=4$のとき、$n = 3(4) - 10 = 2$.

(2)

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = \frac{1-3t}{2}\vec{OA} + t\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{3t}{2}\vec{OA} + t\vec{OB}$.

$2s + 3t = 1$より、$s = \frac{1-3t}{2}$.

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{OA} + t(\vec{OB} - \frac{3}{2}\vec{OA})$.

ここで$\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{OA}$, $\vec{OD} = \vec{OB}$とおくと、$C(2, -\frac{2}{3})$, $D(4, 2)$.

直線CDの方程式を求める。傾きは$\frac{2 + \frac{2}{3}}{4 - 2} = \frac{\frac{8}{3}}{2} = \frac{4}{3}$.

よって、$y - 2 = \frac{4}{3}(x - 4)$, $y = \frac{4}{3}x - \frac{16}{3} + 2 = \frac{4}{3}x - \frac{10}{3}$.

直線ODは、$y = \frac{2}{4}x = \frac{1}{2}x$.

点Aから直線ODに下ろした垂線の足Hを求める。

直線AHは、$y + \frac{4}{3} = -2(x - 4)$, $y = -2x + 8 - \frac{4}{3} = -2x + \frac{20}{3}$.

$\frac{1}{2}x = -2x + \frac{20}{3}$, $\frac{5}{2}x = \frac{20}{3}$, $x = \frac{20}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{3}$.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$. よって、$H(\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$.

$S = \frac{1}{2} |\vec{OH}| |\vec{OA}| \sin \angle HOA = \frac{1}{2} |\vec{OH}| |\vec{AH}|$.

$S = \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} \cdot \sqrt{(4 - \frac{8}{3})^2 + (-\frac{4}{3} - \frac{4}{3})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{80}{9}} \cdot \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{64}{9}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{80}{9}} \cdot \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{80}{9} = \frac{40}{9}$.

$T = \frac{1}{2} |\vec{OC}| |\vec{OD}| \sin \angle COD = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}|\vec{OA}| |\vec{OB}| \sin 45^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{40}{3} = \frac{10}{3}$.

$\frac{S}{T} = \frac{40/9}{10/3} = \frac{40}{9} \cdot \frac{3}{10} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{4}{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{OA}| = \frac{4\sqrt{10}}{3}$, $|\vec{OB}| = 2\sqrt{5}$, $m=4$, $n=2$.

(2) 直線CDの方程式は、$y = \frac{4}{3}x - \frac{10}{3}$. 点Hの座標は$(\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$. $\frac{S}{T} = \frac{4}{3}$.

ア：4, イウ：10, エ：3, オ：2, カ：5, キ：4, ク：2

ケ：$\frac{1}{2}$, コ：$\vec{OA}$, サ：$\vec{OB}$, シ：4, スセ：10, ソ：3

タ：8, チ：3, ツ：4, テ：3, ト：4, ナ：3