座標平面上に点 $A(4, -\frac{4}{3})$ と点 $B(m, n)$ がある。ただし、$m, n$ は正の実数である。$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ のなす角が $45^\circ$ であり、$\triangle OAB$ の面積が $\frac{40}{3}$ である。 (1) $|\vec{OA}|$, $|\vec{OB}|$ を求め、$m, n$ の値を求める。 (2) $s, t$ を実数とし、点 $P$ は $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}, 2s + 3t = 4$ を満たしながら動く。このとき、$\vec{OA} = \vec{OC}, \vec{OB} = \vec{OD}$ を満たす2点 $C, D$ をとると、点 $P$ の存在範囲は直線 $CD$ であり、その方程式を求める。点 $A$ から直線 $OD$ に垂線 $AH$ を下ろすとき、点 $H$ の座標を求める。$\triangle OAH$ の面積を $S$, $\triangle OCD$ の面積を $T$ とするとき、$\frac{S}{T}$ を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点 $A(4, -\frac{4}{3})$ と点 $B(m, n)$ がある。ただし、$m, n$ は正の実数である。$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ のなす角が $45^\circ$ であり、$\triangle OAB$ の面積が $\frac{40}{3}$ である。

(1) $|\vec{OA}|$, $|\vec{OB}|$ を求め、$m, n$ の値を求める。

(2) $s, t$ を実数とし、点 $P$ は $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}, 2s + 3t = 4$ を満たしながら動く。このとき、$\vec{OA} = \vec{OC}, \vec{OB} = \vec{OD}$ を満たす2点 $C, D$ をとると、点 $P$ の存在範囲は直線 $CD$ であり、その方程式を求める。点 $A$ から直線 $OD$ に垂線 $AH$ を下ろすとき、点 $H$ の座標を求める。$\triangle OAH$ の面積を $S$, $\triangle OCD$ の面積を $T$ とするとき、$\frac{S}{T}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$|\vec{OA}| = \sqrt{4^2 + (-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{\sqrt{16 \times 10}}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

$\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2}|\vec{OA}||\vec{OB}| \sin{45^\circ} = \frac{40}{3}$ より、

$\frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{10}}{3} \times |\vec{OB}| \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{40}{3}$

$\frac{2\sqrt{5}}{3} \times |\vec{OB}| = \frac{40}{3}$

$|\vec{OB}| = \frac{40}{3} \times \frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}| \cos{45^\circ}$

$4m - \frac{4}{3}n = \frac{4\sqrt{10}}{3} \times 4\sqrt{5} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{16 \sqrt{50}}{3 \sqrt{2}} = \frac{16 \times 5}{3} = \frac{80}{3}$

$12m - 4n = 80$

$3m - n = 20$

$n = 3m - 20$

$|\vec{OB}|^2 = m^2 + n^2 = (4\sqrt{5})^2 = 80$

$m^2 + (3m - 20)^2 = 80$

$m^2 + 9m^2 - 120m + 400 = 80$

$10m^2 - 120m + 320 = 0$

$m^2 - 12m + 32 = 0$

$(m - 4)(m - 8) = 0$

$m = 4, 8$

$m = 4$ のとき $n = 3(4) - 20 = -8$ となり、nが正の実数という条件に反する。

$m = 8$ のとき $n = 3(8) - 20 = 4$

よって $m = 8, n = 4$

(2)

$2s + 3t = 4$ より、 $s = 2 - \frac{3}{2}t$

$\vec{OP} = (2 - \frac{3}{2}t)\vec{OA} + t\vec{OB} = 2\vec{OA} + t(-\frac{3}{2}\vec{OA} + \vec{OB})$

$\frac{3}{2}\vec{OA} = \vec{OC}$ より、$\vec{OA} = \frac{2}{3}\vec{OC}$

$-\frac{3}{2}\vec{OA} + \vec{OB} = -\vec{OC} + \vec{OB} = \vec{OD} - \vec{OC}$

$\vec{OB} = \vec{OD}$

よって、$C = \frac{2}{3}\vec{OA} = (\frac{8}{3}, -\frac{8}{9}), D = (8, 4)$

$CD$ の方程式は、

傾き $a = \frac{4 - (-\frac{8}{9})}{8 - \frac{8}{3}} = \frac{\frac{44}{9}}{\frac{16}{3}} = \frac{44}{9} \times \frac{3}{16} = \frac{11}{12}$

$y - 4 = \frac{11}{12}(x - 8)$

$y = \frac{11}{12}x - \frac{22}{3} + 4 = \frac{11}{12}x - \frac{10}{3}$

$OD: y = \frac{1}{2}x$

$AH \perp OD$ より、$AH$ の傾きは $-2$

$AH: y + \frac{4}{3} = -2(x - 4)$

$y = -2x + 8 - \frac{4}{3} = -2x + \frac{20}{3}$

$OD$ と $AH$ の交点 $H$

$\frac{1}{2}x = -2x + \frac{20}{3}$

$\frac{5}{2}x = \frac{20}{3}$

$x = \frac{20}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{3}$

$y = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

$H = (\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$

$S = \frac{1}{2} OH \times OA \sin \angle AOH$

$S = \frac{1}{2} |\vec{OD}||\vec{OA}| \sin 45 = \frac{1}{2} OH \times OA \sin \angle AOH = \frac{1}{2} (4\sqrt{5})AH$

$OH = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$

$AH = \sqrt{(4 - \frac{8}{3})^2 + (-\frac{4}{3} - \frac{4}{3})^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (-\frac{8}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$

$S = \frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{5}}{3} \times \frac{4\sqrt{5}}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{16 \times 5}{9} = \frac{40}{9}$

$T = \frac{1}{2} |\vec{OC}| |\vec{OD}| \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{4\sqrt{10}}{3} 4\sqrt{5} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{16}{3} \times 5 = \frac{40}{3 \frac{3}{3}}=\frac{1}{9}$

$\vec{OC} = (\frac{8}{3},-\frac{8}{9})$

$|\vec{OC}|=\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{64}{81}}=\frac{8}{9}\sqrt{10}$

$T = \frac{1}{2} |\vec{OC}||\vec{OD}| sin45 = \frac{1}{2} \frac{8\sqrt{10}}{9}4\sqrt{5} \frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{20}{3}$

$\frac{S}{T} = \frac{\frac{40}{9}}{\frac{40}{3}} = \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

ア: 4

イウ: 10/3

エ: 3

オ: 4

カ: 5

キ: 8

ク: 4

ケ: 2/3

コ: 1

サ: 1

シ: 11/12

スセ: 10/3

ソ: 3

タ: 8

チ: 3

ツ: 4

テ: 3

ト: 1

ナ: 3