Oを原点とする座標平面上に2点 A(4, -4/3), B(m, n) がある。ただし、m, n は正の実数とする。$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角が $45^\circ$ であり、$\triangle OAB$ の面積が $\frac{40}{3}$ であるとする。 (1) $|\overrightarrow{OA}|$ を求め、$|\overrightarrow{OB}|$ を求め、m と n の値を求める。 (2) 実数 s, t に対し、点 P が $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}, 2s + 3t = 4$ を満たしながら動くとする。このとき、$k\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}$、$\frac{l}{m}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}$ を満たす2点 C, D をとると、点Pの存在範囲は直線 CD であり、その方程式を求める。点 A から直線 OD に垂線 AH を下ろすとき、点 H の座標を求める。$\triangle OAH$ の面積を S, $\triangle OCD$ の面積を T とすると、S/Tを求める。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

Oを原点とする座標平面上に2点 A(4, -4/3), B(m, n) がある。ただし、m, n は正の実数とする。$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角が $45^\circ$ であり、$\triangle OAB$ の面積が $\frac{40}{3}$ であるとする。

(1) $|\overrightarrow{OA}|$ を求め、$|\overrightarrow{OB}|$ を求め、m と n の値を求める。

(2) 実数 s, t に対し、点 P が $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}, 2s + 3t = 4$ を満たしながら動くとする。このとき、$k\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}$、$\frac{l}{m}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}$ を満たす2点 C, D をとると、点Pの存在範囲は直線 CD であり、その方程式を求める。点 A から直線 OD に垂線 AH を下ろすとき、点 H の座標を求める。$\triangle OAH$ の面積を S, $\triangle OCD$ の面積を T とすると、S/Tを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{4^2 + (-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

* $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos 45^\circ$

$\frac{1}{2} |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \sin 45^\circ = \frac{40}{3}$

$\frac{1}{2} |4 \cdot n - m \cdot \frac{4}{3}| = \frac{40}{3}$

$|3n - m| = 10$

$\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2}OA \cdot OB \sin 45^\circ = \frac{40}{3}$より、

$\frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{10}}{3} \times |\overrightarrow{OB}| \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{40}{3}$

$\frac{\sqrt{5}}{3} |\overrightarrow{OB}| = \frac{20}{3}$

$|\overrightarrow{OB}| = 4\sqrt{5}$

$OB = \sqrt{m^2 + n^2} = 4\sqrt{5}$ より、$m^2 + n^2 = 80$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 4m - \frac{4}{3}n$

$|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos 45^\circ = \frac{4\sqrt{10}}{3} \times 4\sqrt{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16\sqrt{100}}{6} = \frac{16 \times 10}{6} = \frac{80}{3}$

$4m - \frac{4}{3}n = \frac{80}{3}$ より、$3m - n = 20$

$n = 3m - 20$

$m^2 + (3m - 20)^2 = 80$

$m^2 + 9m^2 - 120m + 400 = 80$

$10m^2 - 120m + 320 = 0$

$m^2 - 12m + 32 = 0$

$(m - 4)(m - 8) = 0$

$m = 4, 8$

$m = 4$ のとき $n = 12 - 20 = -8$ (不適)

$m = 8$ のとき $n = 24 - 20 = 4$

よって、$m = 8, n = 4$

(2)

* $2s + 3t = 4$ より、$\frac{s}{2} + \frac{3t}{4} = 1$

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = 2 (\frac{s}{2}\overrightarrow{OA}) + \frac{4}{3} (\frac{3t}{4}\overrightarrow{OB})$

$\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD} = \frac{4}{3}\overrightarrow{OB}$

よって、$k = 2, l = 4, m = 3$

$\overrightarrow{OC} = (8, -\frac{8}{3}), \overrightarrow{OD} = (\frac{32}{3}, \frac{16}{3})$

直線 CD の方程式を求める。傾きは $\frac{\frac{16}{3} + \frac{8}{3}}{\frac{32}{3} - 8} = \frac{\frac{24}{3}}{\frac{8}{3}} = 3$

$y - (-\frac{8}{3}) = 3(x - 8)$

$y = 3x - 24 - \frac{8}{3} = 3x - \frac{80}{3}$

点 A(4, -4/3) から直線 OD($y = \frac{1}{2}x$) に下ろした垂線の足 H の座標

$y = -2(x-4) - \frac{4}{3}$

$y = -2x + 8 - \frac{4}{3} = -2x + \frac{20}{3}$

$\frac{1}{2}x = -2x + \frac{20}{3}$

$\frac{5}{2}x = \frac{20}{3}$

$x = \frac{8}{3}$

$y = \frac{4}{3}$

$H = (\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$

$S = \frac{1}{2} OA \cdot OH = \frac{1}{2} \sqrt{4^2 + (-\frac{4}{3})^2} \cdot \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{3} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{3} = \frac{8\sqrt{50}}{9} = \frac{40\sqrt{2}}{9}$

$T = \frac{1}{2} OC \cdot OD \sin \theta$

$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}| \times |\overrightarrow{OH}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{3} \cdot \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{16}{9}} = \frac{2\sqrt{10}}{3} \cdot \frac{\sqrt{80}}{3} = \frac{2\sqrt{800}}{9} = \frac{2 \cdot 20\sqrt{2}}{9} = \frac{40\sqrt{2}}{9}$

$T = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OC}| \times |\overrightarrow{OD}| \sin \theta = \frac{1}{2} (2 \cdot OA)(\frac{4}{3} \cdot OB) = \frac{4}{3} (\frac{1}{2} OA \cdot OB) = \frac{4}{3} \times \frac{40}{3} = \frac{160}{9}$

$\frac{S}{T} = \frac{\frac{40\sqrt{2}}{9}}{\frac{160}{9}} = \frac{40\sqrt{2}}{160} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $|\overrightarrow{OA}| = \frac{4\sqrt{10}}{3}$、 $|\overrightarrow{OB}| = 4\sqrt{5}$、 $m = 8$、$n = 4$

(2) $\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OD} = \frac{4}{3}\overrightarrow{OB}$

直線 CD の方程式は $y = 3x - \frac{80}{3}$

点 H の座標は $(\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$

$\frac{S}{T} = \frac{1}{4}$