$\triangle ABC$ において、$BC = 4$, $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$ のとき、$CA$ の値を求める。

以下に、画像にある問題の解答を示します。

**[5] (1)**

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$BC = 4$, $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$ のとき、$CA$ の値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B}$ より、

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{CA}{\sin 30^\circ}$

$CA = \frac{4 \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$CA = 2\sqrt{2}$

**[5] (2)**

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の外接円Oの半径をRとする。$BC = 9$, $A = 60^\circ$ のとき、$R$ の値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いる。

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ より、

$\frac{9}{\sin 60^\circ} = 2R$

$2R = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$

$R = 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$R = 3\sqrt{3}$

**[5] (3)**

1. 問題の内容

$BC = 5$, $CA = 3$, $C = 120^\circ$ のとき、$AB$ の値を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \times BC \times CA \times \cos C$

$AB^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times \cos 120^\circ$

$AB^2 = 25 + 9 - 30 \times (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$AB = \sqrt{49} = 7$

3. 最終的な答え

$AB = 7$

**[6] (1)**

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 2\sqrt{3}$ である。余弦定理により $\cos B$ の値を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{4^2 + 6^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \times 4 \times 6} = \frac{16 + 36 - 12}{48} = \frac{40}{48} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\cos B = \frac{5}{6}$

**[6] (2)**

1. 問題の内容

$\sin B > 0$ であるから、三角比の相互関係により $\sin B$ の値を求める。

2. 解き方の手順

三角比の相互関係 $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ を用いる。

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

$\sin B = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$

3. 最終的な答え

$\sin B = \frac{\sqrt{11}}{6}$

**[6] (3)**

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の面積をSとすると、$S$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin B = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \frac{\sqrt{11}}{6} = 2 \times \sqrt{11} = 2\sqrt{11}$

3. 最終的な答え

$S = 2\sqrt{11}$