与えられた三角関数の値を計算し、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を計算し、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の面積の公式を使います。$\triangle ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(\angle ABC)$ で計算できます。

(2) $\cos^2 150^\circ + \sin^2 150^\circ$ は三角関数の基本的な恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ を使います。

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{5}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求めます。$90^\circ < \theta < 180^\circ$ であることに注意します。

(4) $\sin(90^\circ - \theta) + \sin(90^\circ + \theta) + 2\cos(180^\circ - \theta)$ の値を計算します。三角関数の性質を利用します。

(5) $\sin 70^\circ + \cos 130^\circ + \sin 40^\circ + \cos 150^\circ + \cos 160^\circ$ の値を計算します。三角関数の性質を利用します。

それでは、順番に解いていきましょう。

(1) $\triangle ABC$ の面積は

$\frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{3} \times \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$

したがって、1 に入るのは $3\sqrt{3}$ (イ) です。

(2) $\cos^2 150^\circ + \sin^2 150^\circ = 1$

したがって、2 に入るのは $1$ (エ) です。

(3) $\tan \theta = -\frac{1}{5}$ かつ $90^\circ < \theta < 180^\circ$ なので、$\sin \theta > 0$ かつ $\cos \theta < 0$ です。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{25} + 1 = \frac{26}{25}$.

$\cos^2 \theta = \frac{25}{26}$ であり、$\cos \theta = -\frac{5}{\sqrt{26}}$ となります。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.

したがって、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{26}}{26}$

したがって、3 に入るのは $\frac{\sqrt{26}}{26}$ (イ) です。

(4) $\sin(90^\circ - \theta) + \sin(90^\circ + \theta) + 2\cos(180^\circ - \theta) = \cos \theta + \cos \theta + 2(-\cos \theta) = 2\cos \theta - 2\cos \theta = 0$

したがって、4 に入るのは $0$ (ウ) です。

(5) $\sin 70^\circ + \cos 130^\circ + \sin 40^\circ + \cos 150^\circ + \cos 160^\circ = \sin 70^\circ + \cos (90^\circ + 40^\circ) + \sin 40^\circ + \cos (90^\circ + 60^\circ) + \cos (180^\circ - 20^\circ) = \sin 70^\circ - \sin 40^\circ + \sin 40^\circ - \sin 60^\circ - \cos 20^\circ = \sin 70^\circ - \sin 60^\circ - \cos 20^\circ = \cos 20^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos 20^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、5 に入るのは $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (オ) です。

3. 最終的な答え

1: イ

2: エ

3: イ

4: ウ

5: オ