長さ2mの棒ABを観測地点Pから眺めている状況を模式図で表している。MはABの中点であり、PはABの垂直二等分線上にある。このとき、以下の3つの問いに答える。 (1) PM = 2mのとき、tan∠ABPの値を求める。 (2) PA = 4mのとき、sin∠APBの値を求める。 (3) ∠APB = 30°のとき、PMの長さを求める。

1. 問題の内容

長さ2mの棒ABを観測地点Pから眺めている状況を模式図で表している。MはABの中点であり、PはABの垂直二等分線上にある。このとき、以下の3つの問いに答える。

(1) PM = 2mのとき、tan∠ABPの値を求める。

(2) PA = 4mのとき、sin∠APBの値を求める。

(3) ∠APB = 30°のとき、PMの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠ABPは直角三角形ABMにおける∠ABMである。PM = 2mであり、AM = BM = 1mである。tan∠ABP = AM/MB = 1/1 = 1なので、答えはウである。

(2) PA = 4mである。三角形APMは直角三角形である。AM = 1m, PA = 4mなので、ピタゴラスの定理より、$PM = \sqrt{PA^2 - AM^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$となる。三角形APMにおいて、$sin∠APM = \frac{AM}{PA} = \frac{1}{4}$である。また、∠APB = 2 * ∠APMであるから、倍角の公式より、$sin∠APB = 2sin∠APMcos∠APM$である。$cos∠APM = \frac{PM}{PA} = \frac{\sqrt{15}}{4}$であるから、$sin∠APB = 2 * \frac{1}{4} * \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8}$となる。

(3) ∠APB = 30°より、∠APM = 15°である。三角形APMにおいて、$tan∠APM = \frac{AM}{PM}$であるから、$PM = \frac{AM}{tan∠APM}$である。$AM = 1m$であるから、$PM = \frac{1}{tan15°}$となる。ここで、$tan15° = 2 - \sqrt{3}$であるから、$PM = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$となる。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\sqrt{15}}{8}$

(3) $2 + \sqrt{3}$