直線上に4点A, B, C, Dがこの順にあり、AB=2a cm、BC=CD=2b cmである。AB, ADをそれぞれ直径とする半円をかき、影をつけた部分の面積をS cm²とする。ACを直径とする半円の弧の長さをl cmとする。 (1) $S = 2\pi b(a+b)$ を証明する。 (2) $S = 2bl$ を証明する。

1. 問題の内容

直線上に4点A, B, C, Dがこの順にあり、AB=2a cm、BC=CD=2b cmである。AB, ADをそれぞれ直径とする半円をかき、影をつけた部分の面積をS cm²とする。ACを直径とする半円の弧の長さをl cmとする。

(1) $S = 2\pi b(a+b)$ を証明する。

(2) $S = 2bl$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1) 影をつけた部分の面積Sを計算する。

大きな半円の半径は $a+2b$、小さな半円の半径は $a$。

$S = \frac{1}{2} \pi (a+2b)^2 - \frac{1}{2} \pi a^2$

$S = \frac{1}{2} \pi ((a+2b)^2 - a^2)$

$S = \frac{1}{2} \pi (a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2)$

$S = \frac{1}{2} \pi (4ab + 4b^2)$

$S = 2\pi (ab + b^2)$

$S = 2\pi b(a+b)$

よって、$S = 2\pi b(a+b)$が成り立つ。

(2) ACを直径とする半円の弧の長さをlとする。

ACの長さは $2a + 2b = 2(a+b)$なので、ACを直径とする半円の半径は $a+b$。

したがって、$l = \pi (a+b)$。

(1)より、$S = 2\pi b (a+b)$。

$S = 2b (\pi (a+b))$

$S = 2bl$

よって、$S = 2bl$が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $S = 2\pi b(a+b)$

(2) $S = 2bl$