$xy$平面上の4点 $(-2, 1)$, $(-1, -1)$, $(1, 2)$, $(-2, -2)$ と直線 $y = mx$ の距離をそれぞれ $a, b, c, d$ とおく。このとき、$k = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ について、以下の問いに答える。 (1) $k$を$m$の式で表せ。 (2) $k$の取りうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上の4点 $(-2, 1)$, $(-1, -1)$, $(1, 2)$, $(-2, -2)$ と直線 $y = mx$ の距離をそれぞれ $a, b, c, d$ とおく。このとき、$k = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ について、以下の問いに答える。

(1) $k$を$m$の式で表せ。

(2) $k$の取りうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点と直線の距離の公式より、点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で与えられる。

直線 $y = mx$ を $mx - y = 0$ と変形する。

$a = \frac{|m(-2) - 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$b = \frac{|m(-1) - (-1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$c = \frac{|m(1) - 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$d = \frac{|m(-2) - (-2)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$k = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

$k = \frac{(-2m - 1)^2 + (-m + 1)^2 + (m - 2)^2 + (-2m + 2)^2}{m^2 + 1}$

$k = \frac{(4m^2 + 4m + 1) + (m^2 - 2m + 1) + (m^2 - 4m + 4) + (4m^2 - 8m + 4)}{m^2 + 1}$

$k = \frac{10m^2 - 10m + 10}{m^2 + 1}$

$k = \frac{10(m^2 - m + 1)}{m^2 + 1}$

(2) $k = \frac{10(m^2 - m + 1)}{m^2 + 1}$ を変形する。

$k(m^2 + 1) = 10(m^2 - m + 1)$

$km^2 + k = 10m^2 - 10m + 10$

$(k - 10)m^2 + 10m + (k - 10) = 0$

$m$ は実数なので、この二次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D \ge 0$ である必要がある。

$D = 10^2 - 4(k - 10)(k - 10) = 100 - 4(k - 10)^2 \ge 0$

$(k - 10)^2 \le 25$

$-5 \le k - 10 \le 5$

$5 \le k \le 15$

3. 最終的な答え

(1) $k = \frac{10(m^2 - m + 1)}{m^2 + 1}$

(2) $5 \le k \le 15$