三角形ABCにおいて、AB=8, AC=5, ∠A=120°である。∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=8, AC=5, ∠A=120°である。∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の面積を2通りで表し、それらが等しいことからADの長さを求めます。

三角形ABCの面積をSとすると、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

次に、ADは∠Aの二等分線であるから、∠BAD = ∠CAD = 60°。AD = x とすると、

三角形ABDの面積は

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}x$

三角形ACDの面積は

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{4}x$

$S = S_{ABD} + S_{ACD}$ より

$10\sqrt{3} = 2\sqrt{3}x + \frac{5\sqrt{3}}{4}x$

$10 = 2x + \frac{5}{4}x$

$40 = 8x + 5x$

$13x = 40$

$x = \frac{40}{13}$

3. 最終的な答え

AD = $\frac{40}{13}$