三角形ABCにおいて、$AB = 14$, $AC = 15$, $BC = 13$であるとき、$\sin A$を用いて三角形の面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 14$, $AC = 15$, $BC = 13$であるとき、$\sin A$を用いて三角形の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$\cos A$を求める。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

が成り立つ。

これに、$a=13$, $b=15$, $c=14$を代入すると、

$13^2 = 15^2 + 14^2 - 2 \times 15 \times 14 \cos A$

$169 = 225 + 196 - 420 \cos A$

$420 \cos A = 225 + 196 - 169 = 252$

$\cos A = \frac{252}{420} = \frac{3}{5}$

次に、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$の関係を利用して$\sin A$を求める。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ (∵ $0 < A < \pi$より$\sin A > 0$)

最後に、三角形の面積の公式$S = \frac{1}{2} bc \sin A$に、$b=15$, $c=14$, $\sin A = \frac{4}{5}$を代入して面積を求める。

$S = \frac{1}{2} \times 15 \times 14 \times \frac{4}{5} = 15 \times 7 \times \frac{4}{5} = 3 \times 7 \times 4 = 84$

3. 最終的な答え

84