三角形ABCの面積を、$\sin A$ を利用して求める問題です。三角形の辺の長さは、a = 11, b = 7, c = 6 で与えられています。

1. 問題の内容

三角形ABCの面積を、$\sin A$ を利用して求める問題です。三角形の辺の長さは、a = 11, b = 7, c = 6 で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて $\cos A$ を求めます。

余弦定理は、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ で表されます。

$11^2 = 7^2 + 6^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos A$

$121 = 49 + 36 - 84 \cos A$

$121 = 85 - 84 \cos A$

$36 = -84 \cos A$

$\cos A = -\frac{36}{84} = -\frac{3}{7}$

次に、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を用いて $\sin A$ を求めます。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 A = 1 - (-\frac{3}{7})^2$

$\sin^2 A = 1 - \frac{9}{49}$

$\sin^2 A = \frac{40}{49}$

$\sin A = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7}$ (ただし、Aは三角形の内角なので、$\sin A > 0$)

最後に、三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}bc \sin A$ を用いて面積を計算します。

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{10}$

$S = 6\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

三角形の面積は、$6\sqrt{10}$ です。