与えられた三角形ABCにおいて、辺a=5, b=6, c=3である。$\sin A$ を利用して、この三角形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCにおいて、辺a=5, b=6, c=3である。$\sin A$ を利用して、この三角形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて $\cos A$ を求める。

余弦定理は

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

である。

この式にそれぞれの値を代入すると

$5^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cos A$

$25 = 36 + 9 - 36 \cos A$

$25 = 45 - 36 \cos A$

$36 \cos A = 20$

$\cos A = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

次に、$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を利用して $\sin A$ を求める。

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 A = 1 - \left( \frac{5}{9} \right)^2$

$\sin^2 A = 1 - \frac{25}{81}$

$\sin^2 A = \frac{81 - 25}{81} = \frac{56}{81}$

$\sin A = \sqrt{\frac{56}{81}} = \frac{\sqrt{56}}{9} = \frac{2\sqrt{14}}{9}$

ここで、$\sin A > 0$ であることを考慮して、正の平方根のみを取る。

最後に、三角形の面積 $S$ を求める。

$S = \frac{1}{2} b c \sin A$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{9}$

$S = 9 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{9}$

$S = 2\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{14}$